数理统计习题课

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1、数理统计习题课2未知的,1.设总体X服从正态分布N(“q2),其中“是已知的，而b(XpX2,X3)是从总体中抽取的一个简单随机样本。(1)求(X1?x2,x3)的密度函数；3X2(2)指出N+X2+X3,X+2“，min(XpX2,X3),为七之中，哪些是统计量，哪些不是统计量，为什「么？_£(x厂“卩(1)m’T沪般子耳曲X—X(2)X,+X2+X3,X+2”，min(X,,X2,X3),」——都是统计量,3V2因为它们均不包含任何未知参数；而工务中包含未知参数所以它不是一个统计量。12(1)设(XI?X2,...,XJ为总体X的样本，勺〉0,心1,2,…/，且£也=1，/=1试证亍

2、％X,是EX的无偏估计。/=!(2)试证在EX所有形如£°兀〉0,(山〉0,心1,2,・・・小，£%二1)/=!/=1的无偏估计中，以X最为有效。解:（1）因E（^aiXi）=^aiEXi=EX,故£也乙是EX的无偏估计。/=!/=!/=!由（2>J2S》,所以1=11=1—]InDX=-DX=-OX（y^.）斤n/=iin”^DX-nYa,2=》a：DXn/=iy=i=D（%XJ/=!从而在尿的所有形如的无偏估计中，以乂最为有效。1=13.设母体％服从均匀分布U[0,3],它的密度函数为/(兀；〃)彳万'0,0

3、察值为0.3,0.8,0.27,0.35,0.62,0・55时，求&的矩法估计值。解(1)因为■H3O]90E(X)=0)dx=—^xdx=—-co0•••&=2E(X)A八由E(X)=Xn0=2X由所给子样观察值算得0=2x=0.96343.设总体X的分布密度为、［(a+l)xa0-1是未知参数。(X”X2，・・・,X”)是总体X的样本，试求参数&的矩估计。解EX•HX)4-00^x(p{x,a}dx=—co(a+)dx=—8由矩估计的定义，令:即仅的矩估计为:3.设总体X服从对数正态分布，其分布密度为_（111兀-〃）20（x;“,o~2）=，

4、__兀_场2/2兀（7其中—00V“V+00,CF〜>0是未知参数，X=（X

5、,X2,…,X”）是一样本,试求“和/的最大似然估计。解：似然函数为工（InX,-//）2烈_丄nLQiqJ=匸［（2心）2x：le心/=1可得,ln£(//,cr2)=n刃宀工z=lxii=dlnL(/j,a2)d/u61nL(//,cr2)“的最大似然估计为:1*=0=0(In兀一“)22^ni=l/的最大似然估计为：1nF=-亍（InX匚-〃）2〃/=!3.某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径(毫米)如下：14.614.715.114.914.815.015.115.214.8如

6、果滚珠直径服从正态分布，且知标准差为0.15毫米，求直径平均值对应于置信概率0.95的置信区间。解：b已知时丿的置信度为1“的置信区间为我们有19〒=—八=14.9119台由s=1.96,所以滚珠直径平均值。的置信区间为(14.813J5.009)。4.设某批铝材料的比重服从正态分布现测得它的比重16次，算得〒=2.705,s=0.029,试在置信概率0.95下求/的置信区间。解/的1-°置信区间为（H-l）52曲-1）9-1)52)-1)对a=0.05,查*—分布表（自由度为15）,得力o.o25（⑸=27.5,力（；975（15）=6.26所以在置信概率0・95下P的置信区间为（0.

7、000459,0.002015）o(pl9)3解：“=“()=0.13,H、:检验统计量为f=斤一户,H()的拒绝域为W={t>ta/2(n-)}5/Vn计算得"0」46,5=0.015,心匚律=乞经鉴1=3.373s/ln0.015/V10II对q=0.05自由度n-1=9,查t-分布表，得口2=2.2622.因为廿3.573>2.2622,所以拒绝H。，即可以认为该EI生产的云母片厚度的数学期望与往日有显著差别。19.5.解：W():o-2=^(/?-1)]11[^25力[(/1一1)]}2

8、2计算z2的样本观察值*=14^161=24.8给定0=0.05,查才分布表，得临界点4(«-!)=Zo.025(14)=26.119,彳&s—1)=加975(14)=5.62922因5.629