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1、教学片断与案例1、综合法和分析法的一个教学片断师：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的.观察、思考下列证明过程各有什么特点？它们是以怎样的形式使结论获证的？引例1已知a,b>0,求证d（戾+c2）+/7（c2+a2）>4abc证明：因为b2-^c2>2bc9a>0,所以a（b2+c2）>2abcf因为c2+a2>2ac,b>0,所以+a2）>2ahc.因此,a（h2+c2）+/?（c2+a2）>4ahc.引例2已知a,bwRj求证：匚2nJ廳2证明：要证空艺》后，只需证a+b2应,2只需证a+/?—2/^no,只需证（V^—y/by>o因为
2、（^~yfb）2>0显然成立，所以原不等式成立.引例3已知a+b+c>0,ah+he+ca>0,abc>0.求证：a,b,c>0证：设dv0,*/abc>0,/.he<0又由a--b+c>0,则b--c=-a>0ab+be+ca=a（b+c）+/?cv0,与题设矛盾又若6/=0,则与abc>0矛盾，・•・必有a>0.同理可证：/?>0,c>0设计意图：通过三种证明方法案例的展示，引导学生观察、比较、辨析、思考三种证明方法的形式、特点，为归纳、抽象、概括三种证明方法提供感性认识，也为理解不同证明方法的表述形式打下基础.引例1、2的方法是本课要学习的重点内容，引例
3、3的方法（反证法）是下一课的学习任务，在此给出引例3有两方面的作用，一方面，让学生对不同方法有一个整体认识与了解，另一方面，为下一课的学习作好铺垫.对三个引例，引导学生分两个层次比较、归纳.第一层次的比较，是否直接针对结论进行证明？得出直接证明与间接证明；第二层次的比较，是引例1、2之间，证明的起点及逻辑推理形式，由此可引导学生归纳、概括出本课重点学习的两种方法：综合法与分析法.2、归纳探索的一个教学片断问题情境：（河内塔游戏）传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的64个圆环•古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则，把圆环从一根针上全部移到另一根
4、针上，第三根针起“过渡”的作用.①每次只能移动1个圆环；②较大的环不能放在较小的圆环上面.如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上,那么世界末日就来临了.请你推测：把64个环从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?启发性思考：首先，你是否理解了这个问题？是否理解清楚了圜环的移动规则？是否明白了问题要求什么？然后，你打算怎样考虑这个问题？能否把问题化简单、化容易一些？怎样的情况会更简单、更容易呢？（为归纳作准备，逐步形成归纳意识）【评析】这一系列的启发性思考问题，在于引导学生在血对一个新问题或较难的问题时，首先要准确理解好问题，然后学会寻找问题的切入点.生
5、成预设：片数较少的情况会更简单、更容易，先考虑片数较少的情况，看看1片、2片、3片、…，等情况，再找找方法规律或联系，考虑解决更难、更一般的情况.操作实验：（1）可先让学生进行适当的思想实验，想明白1片、2片、3片吋的情况,并引进符号％表示〃片圆环的移动次数；（2）再用课前备好的四个大小不一的圆环，让两位学生对2个、3个、4个圆坏的情况分别进行实际操作试验，其他学生注意观察并思考规律.生成预设：（1）表面的试验观察结果可能只是a}-,a2=3心=7宀=15,进而发现规律1=2'-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,…，猜想％=2紈一1・（2）更进一步
6、的试验、观察可能发现：%=1卫少=1+2卫3=1+2+4,CZ4=1+2+4+&・・・・BP：对于两个圆坏，底下一个只要移动1次，上面一个则要移动2次；对于3个圆环，由下到上，第1个只耍移动1次，第2个需要移动2次，第3个则耍移动4次；对丁•4个圆环的情况可作同样解释.进而猜想％=1+2+22+•••+263=264-1.(3)更深入的试验、观察、思考可能发现更木质的移动规律，在理性的层面上解决问题：移动〃个圆环吋，只耍化归为移动斤-1个鬪环即可，第一步，先把上面的n-1个岡环按要求移到2号针上，需移d心次；第二步，把最底下的第〃个圆环移到3号针上，需要移1次；第
7、三步，再把2号针的/1-1个圆环移到3号针，需要再移。心次，从而得匕=2°心+1,这样就可依次求得各种I员I环数的移动次数，或转化为等比数列％+1=2(%“+1),结合⑷=1,求得通项a”+l=2・2"T,即an=2n-1.【评析】移动3个、4个圆环的情况，学生可能会有一些困难.要根据学生的实际情况，给予适当的点拨、提示，或质疑启发.(1)缺乏思维指导的学生可能只是盲目地、孤立地试验各种情况，这样，要试验求出偽、©就更困难，而求岀如、印对于归纳猜想又是关键所在.(2)预设(2)体现了更进步的观察、归纳，是注意到试验中每个圆环的移动次数规律性，从这样的角度，可能更有
8、利于得出①
