不等式的若干证明方法与简单应用-毕业论文

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1、不等式的若干证明方法与简单应用摘要：本文通过分析数学中的不同代数不等式的特点，归纳、总结了若干证明不等式的常用方法和技巧，并且介绍了不等式在解方程、极值问题、数列问题等方面的简单应用。文中涉及到的主要方法有比较法、分析法与综合法、反证法、放缩法、判别式法、换元法、构造法、增量法、导数法，还利用了单调性、微分中值定理、Taylor公式证明不等式。关键词：不等式证明；比较法；导数法；应用Abstract：Thisarticlethroughtheanalysismathematicsindifferentalgebrainequalitycharacteristic,thei

2、nduction,summarizedcertainproofinequalitycommonlyusedmethodandtheskill,andintroducedtheinequalityinaspectandsoonsolutionequation,minimumproblem,sequencequestionsimpleapplications.Inthearticleinvolvesthemainmethodhasthecomparisontest,theanalyticmethodandthesynthesismethod,thereductiontoabs

3、urdity,thescalinglaw,thediscriminantlaw,thesubstitutionofvariables,theconstructlaw,ttheincreaselaw,thederivativelaw,butalsohasusedmonotonous,thedifferentialtheoremofmean,theTaylorformulaproofinequality.Keywords：Inequalityproof；thecomparisontest；derivativelaw；application1前言代数不等式是数学中的一个重要内容

4、，由于它本身具有完美的形式及证明的灵活性，往往可以考察学生的分析能力和应变能力。而在不等式的理论中，有许多著名的不等式，其中一些不等式的发现对不等式证明的发展已成为许多论证不等式的工具，使我们深刻地认识了不等式证明的发展变化情形，以及各类不等式之间的相互关系，从而提高我们的证题能力,以至于对数学许多分支的研究都有着重要的作用。2不等式证明的若干方法2.1比较法2.1.1作差比较法在比较两个实数和的大小时，可借助的符号来判断。步骤一般为：作差—变形—判断—（正号、负号、零），变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。欲证AB，只要证A-B，即

5、可。欲证AB，只要证A-B，即可。例1已知，且成等比数列，求证：。证明根据条件可设（为公比，）因为=2（14=2（=2而又所以2故。注意：证明中用到了配方法确定的符号，这一点是为确定二次三项式的符号而经常采用的办法。2.1.2作商比较法在证题时，一般在均为正数时，借助或来判断其大小，步骤一般为：作商—变形—判断（大于）或（小于）。若B，欲证，只要证。若B，欲证，只要证。例2已知，求证：2。证明因为=====又所以即。2.2综合法利用题设和某些已知不等式作为基础，运用不等式的性质推导出欲证的不等式，综合法的思路是“由因导果”。是一种直接证明方法。例3已知，求证：。证明因为，

6、所以，又无论取正数、负数、零，都有意义，为此，根据已知条件讨论如下：14（1）当之中有一个为零时：若，因，而所以，根据奇次方根的性质这只有，如是得证若，因，而所以，根据奇次方根的性质，这只有如是得证（2）当全不为零时：若异号，因所以只能有，成立再用奇次方根的性质得，从而得证若同号：当时：因所以即得证当，时：此间，因所以即因（其中、）所以即所以得证总之，由（1）（2）可得成立。说明：此例可见，用综合法证不等式，可使其推理论证过程简单明确，特别是当问题比较简单的情况下用综合法证不等式易证。2.3分析法从要证的不等式（也可结合已知条件或一部分已知条件）着手，逐步推求能使它成立的

7、条件，直至所需条件为已知正确的不等式或所需条件为已知条件，从而得知要证的不等式成立，是一种执果溯因的思考方法和证明方式，是一种直接证明方法。例4求证：，（其中。证明假设成立则只须成立则只须成立14这只须成立所以只须成立（当时所以只须成立所以只须成立，因为是成立的，并且上面的推理每一步都可逆求所以原不等式成立。2.4反证法证明一个问题不是直接去证明结论，而且是先提出与结论相反（相排斥）的假设，然后推导出和已知证明的定理或公理、定义、题设等相矛盾的结果，这样就证明了结论相反的假设不能成立，这种间接证明命题的方法叫做反证法，反证法是