线性代数（宁雪梅）综合复习答案

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1、一、填空题(每小题3分，共30分)1、设A是3阶方阵，且A=4,贝!IA*二16。~a\~an_如则°21+。31a22+tZ32G23+G33=3、已知向量组舛=(1,2,3,4卩，。2=(2,3,4,5)『，a3=(3,4,5,6)r,a4=(4,5,6,7)r,该向量组的秩为2o4、设A是4阶方阵，且行列式

2、A

3、=16,B=—gA,则

4、B

5、=15^已知向量组。1=(3,1<)丁，a2=(4,a,0)r,ay—(1,0,a)r线性相关，则a=0或2。Si如％6^已知：D-a2la22a23,WJ：如每+。

6、2心2+舛3人3=—Q—(每是鶴•的代数余子式)。7、n元线性方

7、程组AX=B,当_厂(人)=厂(方)_时，有解；当_厂(4)=厂(方)=斤—时，有惟一解；当_r(A)=r(A)

8、；(B)若=则A=0或3=0；(C)若AH0,则A^0；(D)若同工0,则AH03、设A为非零〃阶矩阵，则下列矩阵中不是对称矩阵的是(C)。(A)A47；(B)A；(C)A-Ar；(D)A+Ar4、向量组0,笑,…,％的秩为厂，则下述四个结论中错误的为(C)。(A)…,％中至少有一个含厂个向量的部分组线性无关；(B)0,©2,…,％中任意含厂个向量的线性无关部分组与0,冬，…,％可互相线性表示；(C)002,…,％中任意含厂个向量的部分组皆线性无关；(D)4],闵,…,％中任意含厂+1个向量的部分组皆线性相关X)+2x2一兀3=45、如果线性方程组，x24-2x3=2无解

9、，则/=(B)。(A—1)(兄—2)Xj—(A—3)(2—4)(A)3或4；(B)l或2；(C)l或3；(D)2或4三、（10分）计算4阶行列式D=babbbbbbabba解:abbba+3ba+3方a+3〃a+3〃babbbabbbbabbbabbbbabbbaD=11111111babb=(a+3b)0a-b00bbab00a-b0bbba000a-b=(a+3b)=(a+3b)(a—b)‘‘3o-r四、(10分)设矩阵A=030，且AX=2A+2X，求矩阵X.、O03丿解：由AX=2A+2X,得(A-2E)X=2Af即：X=2(A-2E)'1A.而五、（10分）（2、/

10、3、[I]1-133,。2=2，”3=4、j丿<0;<_2>求向量组a】=的一个极大无关组，并<10-P-1rl01、(A-2E)-1=010=010Hoi丿,00b则r01]‘30-1、"604、X=2(A-2Ey'A=2010030—060,001丿<003丿<006,把其余向量用该极大无关组线性表示。‘2314><1-13-3、1-13-32314T32413241<-10-21；<-10-21,Q-13-3、5-13-3、厂102-1、05-51001-1201-12TT05-51000000000,0-11一2丿,0000,,0000丿T因此r(A)=2,a】,①就

11、是一个极大无关组，且a3=2a^a2ia4=~a^2a2.六、(15分)求非齐次线性方程组＜的通解。兀I+2x2+壬,一兀4=23兀］+6兀2一兀3一3兀4=65x,+10兀2+兀3一5屯=10-1002、0旺+2咕兀"职兀3=°兀1=2-2兀2+兀4兀3=°令口由未知量x2=x4=0,得到方程的一个特解〃=其对应的齐次线性方程组为“丁+七，令兀3=°“2、00；[;]伽,得齐次线性方程组的基础仃21-12、<121-12、<121-12、解：36-1-36T00-400T00100、5101-50<00-400丿<00000丿31'§2=000,0丿丄解系为$=/、厂-2、

12、rr010—0+0+k-f0兀3103丿丄原方程组的通解为:‘200、七、(10分)设矩阵12-1,<101,(1)求矩阵A的特征值和特征向量；2—2I)

13、2I-A

14、=-1-1(2)问A是否相似于对角矩阵，如能，求可逆矩阵P和对角矩阵A,使得PiAP=A。002-21=(2-2)2(2-l)=0,A的特征值人=1,22==20A—I解(7-A)X=0,'-100、100>‘100、I-A=-1-11T0-11T01-1<-ioo丿,000；,000,得特征向量为少=1w解(2Z-A)X=0,'000、1