简单的三角恒等变换(教案)

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1、简单的三角恒等变换（一）张掖中学宋娟一、教学目标知识与技能：理解并掌握二倍角的止弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学屮的应用；过程与方法：通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、方程、逆向使用公式的数学思想，提高学生推理能力；情感、态度与价值观：通过例题的讲解，让学生体会化归、变形使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生推理能力.二、教学重、难点教学重点：前淸公式进行简单的恒等变换；教学难点：利用倍角公式推出半角公式，并利用变形的方法解决问题.三、教学方法：探究式教学法.四、教学类型：

2、新授课.五、教学内容复习引入（学生组织完成）问题1:和差角的正弦、余弦、正切公式（六个）；问题厶二倍角的正弦、余弦、正切公式（三个）；问题3：二倍角的变形公式（四个）.新课讲解思考1（学生组织完成）：如何用cosg表示sin2->cos2->tan2-?222分析：观察©与冬的关系是2倍的关系，所以我们耍利用刚刚学过的二倍角的2变形公式.解：a是竺的二倍角•在倍角公式cos2cr=l-2sin2«以a代替2a,以纟代22替q,即得cosa=l-2sin2—,2所以sin2-^1'00^；①22在倍角公式cos2a=2cos2tz-l中，以a代替2a,以竺代替a,即

3、得2cosa=2cos2—-1、2比I、〕2a1+cosa金所以cos2—=•②22将①②两个等式的左右两边分别相除，即得ta亠上史竺21+cosa思考2：若已cosa,如何计算sin—^cos—>tan—?222•a,/l-cos€za,/1+cosaa.1一cosasin—二±J、cos—二土A/、tan—=/2V22V22Yl+cosa（半角公式）强调：“土”号曲冬所在象限决定.2例1:已知sina=一，K—

4、2rti公式tan£=±2V1+cosa^tan—=21-(-—)131/12、1+(——)132513例2求证asinal-cosatan—==21+cosasina证明.a.aasin—sin—-2cos—•a777sinciftan—=——一2乙一2Qcos—2sinacosr2cost2cos2i1+cosa•Ct.Ctc・2住sin—-2sin—2siir—,22_2_1_cosa、、ac宀asinasinacos—-2sin—222利用例2的结论，再做一下例1,比较两种方法.2cos2——sinO-1,求••asin—a2tan—=—2a一cos—37

5、1例3已知sin2&=_,0<2&<一52如(&+彳)分析：由降幕公式知2c°s守1+coss故有原式=cos&+l-sin&-lcossin。cos0+sin〃此处有两种处理方法：方法一、由已知求］屮icos〃、sin&的值，带入*式计算，即可得到结果;方法二、由*继续变形，将半角化为倍角进行计算.解法一cos&+l-sin&-l尸一八cos0+1—sin0—1cos0—sin&血止心0+代吨cos0+sin&22冗jr由0v2&v—0<&<—二cos&>0,sin0>02437T4由sin2&=—,0v2&v—得cos20=—525又cos23=1-2sin2

6、0=2cos20-.nV10°3V10sinu=,cos&=1010带入*式得3a/10Vio10103a/10J1010110*=2V10_14^10~2解法二cos〃+1—sin&—1cos&一sin&(cos0+sin0)(cos0-sin0)1一2sin&cos01-sin20原式=rr~nA^cos^^sin^)C0S^S1^22(cos0-sinOF==*cos26^-sin20cos2^2TT4由sin2&=二,0v2&v—得cos2&=—525带入*式得*-5_5_134245小结：对于例3,我们从不同角度出发，解法一先利用倍角计算半角，再带入求

7、值，解法二先利用半角化为倍角，再带入求值.在三角恒等变换中，正所谓“条条大路通罗马”.在以后的学习当中，此类问题是三角恒等变换中常见的问题.万丈高楼平地起，在此告诫同学们，基础知识的理解和必要的记忆是很重要的，所以在以后的学习中，不管题目如何变化，都有一个固定的解题理论，那就是我们的倍角公式，及其逆用，掌握好了基础的理论知识，不管题口如何变化，我们都能将他们各个击破.所谓“咬定青山不放松，任尔东南西北风”・下面我们来分小组讨论一下这一个问题：(练一练)化简sin2(2-sin20+cos2a•cos20-^-cos2a•cos20.分析:1•从“角”入手,倍角化半

8、角；2.从