[知识]一阶拟线性偏微分方程的增解与遗解问题

《[知识]一阶拟线性偏微分方程的增解与遗解问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、代数方程、部分一阶常微分方程和一阶拟线性偏微分方程的增解与遗解问题田云（西北师范大学数学与信息科学学院，卄肃兰州730070）摘要：讨论代炭方彼、那分一阶常微分方族餉一阶拟钱性徧微分方程的何解与（1御向逼.关键词：方程；低餅；邊超中囹分歩%:O175.1Extraneoussolutionandofalgebraicequations>partsofthefirstorderdifferentialequationsandthefirstorderquasi-linearpartialdifferentialequ

2、ationsTIANYun（CollegeofMathematicsandInformationScience,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China）Abstract:Extraneoussolutionandproblemshavebeendiscussedforalgebraicequations,pansofthefirstorderdifferentialequationsandthefirstorderquasi-linearpartial

3、differentialequationsKeywords:Equation;extraneoussolution;Decreasingroot在解代数方程、部分一阶常微分方程和一-阶拟线性偏微分方程时，由于方程要进行某些非恒等变形，导致未知函数（变量）的取值范围扩大或缩小，从而产生增解和遗解的问题.在本文中，通过归纳总结并举例的形式，讨论这些方程的增解与遗解现彖，并对其原因进行了分析探讨.一、代数方程的增解与遗解的问题当一个代数方程确定以后，未知量的取值范围也就确定了.在方程变形中若新方程的未知量取值范围扩大了就

4、口J能引起增解，反Z引起遗解.方程两边同乘以含冇未知量的因式吋，会便原方程产生增解；方程两边同除以含有未知量的因式吋，会使原方程产生遗解.为此,当方程两边不得不乘以或除以一个含冇未知量的因式时，就必须验根.使所乘因式为零的未知量可能为增解，使所除因式为零的未知量可能为遗解.熟知代数方程包括整式方程，分式方程和无理方程[6],下而分别对这儿类方程讨论其增解或遗解现象，并分析导致这些现象的原因.1整式方程整式方程分为三类，一元一次方程、一元二次方程和高次方程.我们知道一元一次方程、一元二次方程不存在增解与遗解，而解高次

5、方程的一般指导思想是转化思想，即通过因式分解或换元，把高次方程转化为一元一次或一元二次方程求解.因此，高此方程也不存在增解与遗解.进而整式方程不存在增解与遗解.2分式方程解分式方程的一般方法是去分母，在分式方程两边同时乘以各分式的授简公分母（即两边乘以含未知量的因式）约去分母，使分式方程转化为整式方程.因为当最简公分母等于零时，这种变形不符合方程的同解原理（方程的两边都乘以或除以同一•个不等于零的量，所得方程与原方程同解），这吋得到的整式方程的解不一•定是原方程的解.因此，解分式方程吋,必须将整式方程得到的解代入原

6、方程进行检验.为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中检验，如果最简公分母不等于零，它就是原方程的根；如果最简公分母等于，它就是原方程的增解，必须舍去.11x—；+=【例1】解方程X"-6x+92兀+6%--9.解原方程等价于11x+=（兀―3）22（x+3）（x+3）（x-3）■方程两边同乘以最简公分母2（兀-3）2（兀+3）,得2（%+3）+（兀一3）2=2x（%一3）,整理，得兀2-2x-15=0解得州=5,兀2=一3.检验，把xi=5代入蝕简公分母，即当xi=5时，2（%—3尸（兀+3）=2（5—3）2（

7、5+3）=64H0而当％2=一3时最简公分母2（X—3）2（兀+3）为0,所以，兀=5是原方程的根，而兀=—3是增解.结论：分式方程只存在遗解问题，而无增解问题.3无理方程解无理方程的一般解法是适当移项，两边同次乘方；化去根号最后使无理方理转化为有理方程•因为两边乘方相当丁•两边同乘以含有未知量的【大I式，故对能使耒知量取值范围扩大,故有产牛增解的可能，所以解无理方程要验根.[例2]解方程2(x+1)-2Jx(x+8)=長-Jx+8解原方程町变形为x—2J兀(兀+8)+(兀+8)-(_J兀+8)—6=0即{y/~x

8、-Jx+8)2—{yfx—Jx+8)_6=0,用十字相乘法，得(y/~x—』x+8)—3J•[(V^-Qx+8)+2]=0,此方程可化为两个简单方程Vx-7x4-8-3=0(1」)yfx—丁兀+8+2=0(1.2)1由方程(1.1)可得36,由方程(1.2)可得兀2=1.11178检验，把136代入原方程，左边=0,右边=66~3,左边H右边；把x2=1代入