一阶拟线性偏微分方程.pdf

《一阶拟线性偏微分方程.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、天津商业大学一阶拟线性偏微分方程在物理中的应用及初值问题求解院系：机械工程学院专业：XX姓名：XXX学号：XXXXX摘要本文首先介绍了一阶拟线性偏微分方程的基本概念，及齐次性的划分，并列举了几种典型拟线性偏微分方程在物理中的应用。然后，通过讨论一阶拟线性偏微分方程的几何意义得出其求解方法。最后以齐次连续性方程初值问题的求解为例，介绍了一阶拟线性偏微分方程的基本求解方法。关键词：一阶拟线性偏微分方程；连续性方程；初值问题；物理意义ABSTRACTInthispaper,wefirstintroducethebasicco

2、nceptsoffirstorderquasilinearpartialdifferentialequations,andthedivisionofhomogeneousproperties,andtheapplicationsofseveraltypicalquasilinearpartialdifferentialequationsinphysics.Then,bydiscussingthegeometricmeaningofthefirstorderquasilinearpartialdifferentialeq

3、uations,thesolvingmethodisobtained.Finally,thesolutionoftheinitialvalueproblemofhomogeneouscontinuityequationissolvedasanexample,andthebasicsolutionofthefirstorderquasilinearpartialdifferentialequationisintroduced.KEYWORDS:Firstorderquasilinearpartialdifferentia

4、lequation;Continuityequation;initialvalueproblem;Physicalmeaning1.基本概念偏微分方程是指含有未知函数以及未知函数的某些偏导数的等式。设u是自变量x,y，…的未知函数，那么关于u的偏微分方程一般形式是F（x,y,…,u,ux,uy…）=0(1)其中F是关于变量x,y,…,u,…的已知函数，它可以不显含自变量x,y,…和未知函数u，但必须含有u的某个偏导数。涉及几个未知函数及其偏导数的多个偏微分方程构成一个偏微分方程组。偏微分方程的最高阶偏导数的阶数称为偏微

5、分方程的阶。如果一个偏微分方程对未知函数及它的所有偏导数都是线性的，且他们的系数都仅依赖于自变量的已知函数，则这样的偏微分方程称为线性偏微分方程。不是线性的偏微分方程称为非线性偏微分方程。对于一个非线性偏微分方程，如果它关于未知函数的最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性偏微分方程。若未知函数的最高阶偏导数为一阶，则称为一阶拟线性偏微分方程，它的一般形式是uuuXXXX（2）12nxxx12n其中Xi=Xi(x1,x2,…,xn,u)，i=1,2,…,n和X=X(x1,x2,…,xn,u)是Ω上已知连

6、续可微函数。若方程中不含未知函数及其偏导数的项为零时，该方程称为一阶齐次拟线性偏微分方程，否则称为一阶非齐次拟线性偏微分方程。2.典型拟线性微分方程拟线性偏微分方程在物理学上有着广泛的应用，其中主要介绍其在能源与动力工程方面的应用。流体力学中有三大基础性方程，分别为连续性方程，动量方程和能量方程。这些方程都为拟线性偏微分方程，其中连续性方程uvw0（3）txyt它是一阶齐次拟线性偏微分方程。动量方程22(uu)(uu)1puu()（4）22xxxxy它是

7、二阶齐次拟线性偏微分方程。能量守恒方程22(uT)(vT)TTa()（5）22xyxy它是二阶齐次拟线性偏微分方程。3.一阶拟线性偏微分方程的初值问题对于两个变量的一阶拟线性偏微分方程uuaxyu(,,)bxyu(,,)cxyu(,,)（6）xy其中a,b,c分别是x,y,u的已知函数，u=u(x,y)，且a2+b2>0.对方程（6）可以作如下几何解释。方程（6）可以改写成uu(,,)(abc•,,1)0（7）xy则式（6）的解是表示空间（x,y,u）中一张曲面S：u=u(

8、x,y)，曲面S上任一点P(x,y,u)uu其切平面的法向为(,,1)。式（8）表明：曲面法向与向量（a,b,c）垂直，xy或者说向量（a,b,c）在点P的切平面内（图1）。图1则方向（a,b,c）为方程（6）的特征方向，它在区域Ω∈R3上定义了一个向量场。这个向量场的积分曲线称为方程（6）的特征曲线。设特征曲线的参数形