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1、初一数学竞赛讲座(2)特殊的正整数、知识要点1、完全平方数及其性质定义1如果一个数是一个整数的平方,则称这个数是完全平方数。如:1、4、9、…等都是完全平方数,完全平方数有下列性质:性质1任何完全平方数的个位数只能是0,1,4,5,6,9中的一个。性质2奇完全平方数的十位数一定是偶数。性质3偶完全平方数是4的倍数。性质4完全平方数有奇数个不同的正约数。性质5完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数,完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。2、质数与合数定义2一个大于1的整数a,如果只有1和a这两个约数,那么a叫做质数(或素数)。定义3—个大于I的整数a,如果只有1
2、和a这两个约数外,还有其他止约数,那么a叫做合数。I既不是质数也不是合数。3、质数与合数的有关性质(1)质数有无数多个(2)2是唯一的既是质数,又是偶数的整数,即是唯一的偶质数。大于2的质数必为奇数。(1)若质数pa・b,则必有pa或pbo(2)若正整数a、b的积是质数p,贝lj必有a=p或b=p.(3)唯一分解定理:任何整数n(n>l)可以唯一地分解为:其中pivp2<・・・vpk是质数,a】,a2,…,ak是正整数。二、例题精讲例1有一个四位数恰好是个完全平方数,它的千位数字比百位数字多1,比十位数字少1,比个位数字少2,这个四位数是解设所求的四位数为m?,它的百
3、位数字为a,则有m2=1000(a+1)+100a+10(a+2)+(a+3)=lllla+l023=11(101a+93)因为11是质数,所以11I(101a+93),而101a+93=ll(9a+8)+(2a+5),所以11I(2a+5),由题意a+3W9,故aW6,从jfija=3于是所求的四位数为4356例2一个四位数有这样的性质:用它的后两位数去除这个四位数得到一个完全平方数(如果它的十位数是0,就只用个位数去除),冃这个平方数正好是前两位数加1的平方。例如4802十2=2401=43=(48+1)2,则具有上述性质的最小四位数是解设具有上述性质的四位数是1
4、00ci+c2,其屮lOWci,C2W99,按题意,得100cI+c2=(ci+1)丫2=c^c2+2ctc2+c2fa100ci=c1c2(C]+2),C2=即「5+2,因而(5+2)1100,又10WciW99,所以5=18,23,48,98相应地c2=5,4,2,I于是符合题意的四位数是1805,2304,4802,9801,其中最小的是1805评注:本题根据题意,列出不定方程,然后利用整数的整除性来求解。例3三个质数a.b、c的乘积等于这三个质数和的5倍,则a2+b2+c2=分析:itl题意得出abc=5(a+b+c),rfl此显然得质数a、b、c中必有一个是
5、5,不妨设心5,代入前式中再设法求b、c解因为abc=5(a+b+c),所以在质数a、b、c屮必有一个是5,不妨设a=5,于是5bc=5b+5c+25,即(b・l)(c-l)=6,而6=2X3=1X6,b-l=2b-l=l则[c-l=3①或[c-l=6②由①得b=3,c=4,不合题意,由②得b=2,c=7,符合题意。所以所求的三个质数是5,2,7O于是a2+b2+c2=78评注:质数问题常常通过分解质因数来解决。例4试证:一•个整数的平方的个位数字为6时,十位数字必为奇数。分析:一个整数的平方的个位数字为6,则这个整数的个位数字必为4或6,从而可设此数为a=10g
6、+4或a=10g+6(g为整数)。证明:设一个整数为a,则由一个整数的平方的个位数字为6知,此数可设为a=10g+4或a=10g+6(g为整数)・・・当a=1Og+4时,a2=(l0g+4)2=l()0g2+80計16=10(10g2+8g+1)+6当a=10g+6时,a2=(10g+6)2=IOOg2+120g+36=10(1Og2+12g+3)+6・・・十位数字必为10g2+8計1和10g2+12g+3的个位数字,显然是奇数。评注:类似地,可以证明:一个整数的个位数字和十位数字都是奇数,则这个整数不是完全平方数。例5三人分糖,每人都得整数块,乙比丙多得13块,甲所
7、得是乙的2倍,已知糖的总块数是一个小于50的质数,且它的各位数字之和为11,试求每人得糖的块数。分析:设出未知数,根据题意,列川方程和不等式组,再通过质数的性质来求解。解设甲、乙、丙分別得糖x、y、z块,依题意得x=2y