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时间:2018-10-26
《初一竞赛讲座13(角的认识)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、初一数学竞赛系列讲座(13)角的认识 一、一、知识要点具有公共端点的两条射线所成的图形称为角。与角有关的基本概念有:周角,平角,直角,锐角,钝角,对顶角等。二、二、例题精讲例1.例1. 如图,已知O是直线AC上一点,OB是一条射线,OD平分ÐAOD,OE在ÐBOC内,ÐBOE=ÐEOC,ÐDOE=70°,求ÐEOC的度数。分析:易得ÐEOC=ÐBOC,而ÐBOC+ÐAOB=180°,结合OD平分ÐAOB,可作ÐBOC平分线,结合ÐDOE可求出ÐBOC,从而求ÐEOC的度数解:作ÐBOC平分线OF,则ÐBOF=ÐCOF=ÐBOC∵ OD平分ÐAOB∴ ÐAOD=ÐDOB=ÐAO
2、B又∵ ÐBOC+ÐAOB=180°∴ ÐDOB+ÐBOF=90° 即 ÐDOF=90°∴ ÐEOF=ÐDOF-ÐDOE=20°又∵ ÐEOF=ÐBOF-ÐBOE而ÐBOF=ÐBOC,ÐBOE=ÐBOC∴ÐEOF=ÐBOC-ÐBOC=ÐBOC∴ÐBOC=6ÐEOF=120°∴ÐEOC=ÐBOC=×120°=80°即 ÐEOC=80° 例2.例2. 一个锐角的余角的补角与这个锐角的差是( )A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不能确定分析:设该锐角为a,它的余角(90°-a)的补角b应为180°-(90°-a)=90°+a,b与a的差(90°+a)-a=90° 故选
3、B 例1.例3. 已知Ða的余角是Ðb的补角的,Ðb>110°,求Ða的范围。分析:显然Ða是锐角,由互余和互补的定义及条件可求出Ða与Ðb的关系,再由Ðb的范围,可求出Ða的范围。解:Ða的余角为90°-a,Ðb的补角为180°-b由题意,得90°-a=(180°-b)∴ b=5a-270°∵ Ðb>110°∴ 5a-270°>110°∴ a>76°又由条件知Ða为锐角 ∴ a<90°故Ða的范围是76°<a<90°评注:本例把Ða转化到Ðb进而求出Ða的范围。要把相关概念进解透彻,否则就会忽略a<90°这一条件。 例2.例4. 当时间是2点32分时,时
4、针与分针的夹角是多少度?解:时针每小时转1大格,即30°,所以每分针转0.5°,而分针每分转6°,当时针指向整点时,分针指向12点。因此,我们以指向12点作为角的始边,在2点32分时,时针与12点构成的角度是2×30°+32×0.5°=76°分针与12点构成的角度是32×6°=192°,从而,2点32分时,时针与分针的夹角是192°-76°=116°评注:(1)当时针与分针所转过的角度的差大于180°时,则需用360°减去这个角,例如:2点50分时,按上述方法求得的角是50×6°-(2×30°+50×0.5°)=300°-85°=215°>180°则时针与分针的夹角为360°-215°
5、=145°(2)对于确定的时间,例如x点y分时,试写出用x、y表示时针与分针的夹角的表达式。例3.例5. 如图射线OA表示北偏东60°,射线OB表示东南方向,∠BOC是∠AOB的余角,射线OD是射线OC的反向延长线,写出射线OD所表示的方向。解:∠AOB=30°+45°=75°∠AOB的余角∠BOC=90°-75°=15°∴OC表示南偏东30°,OC的反向延长线OD所表示方向是北偏西30°评注:如果本例没有给出图形,那么按题意,射线OC就有在∠AOB外部和内部两种不同位置,求OD的方向也就需要分两种情况求解。 例4.例6. 如图,OA1,OA2,…,OA10是以O为
6、端点的十条射线,∠A1OA10<90°,则图中以O为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有多少个?解法一:以O为端点,以十条射线OA1,OA2,…,OA10的任意两条为边组成的角,取决于从十条射线OA1,OA2,…,OA10中选出两条配成的对数。共有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45对,所以图中以O为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有45个。评注:在数图形的角的总数时,和数线段一样,关键仍是做到不重不漏,因此,必须按照一定的规律去数。解法二:也可化为数线段的问题。如图作一直线,分别交OA1,OA2,…,OA10于A1,A2,…,A10,则每一个角对应于A1A10上的某一条
7、线段。反过来,A1A10上的每一条线段又对应于某一个角,如∠A4OA6,它对应线段A4A6,而线段A4A6恰好对应线段于∠A4OA6,因此,要数图中角的个数,只要数A1A10上的线段数即可,而A1A10上的线段数有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45条因此,图中共有45个角 例1.例7. 求证:成对顶角的两个角的平分线,在一直线上。证明:如图,AB、CD相交于O,则ÐAOC与ÐBOD成对顶角。设OE、OF分别为ÐAOC、ÐBOD的
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