[修订]高中新课程数学(新课标人教a版)选修2-3《311回归分析的基本思想及其初步应用

《[修订]高中新课程数学(新课标人教a版)选修2-3《311回归分析的基本思想及其初步应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、§3.2回归分析（1）教学目标（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；（2）通过对冋归模型的合理性等问题的研究，渗透线性冋归分析的思想和方法；（3）能求岀简单实际问题的线性回归方程.教学重点，难点线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法.教学过程一.问题情境1.情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据，试估计当x=9时的位置y的值.时刻X/s12345678位置观测值y/cm5.547.5210.0211.7315.6916.1216.9821.06根据《数学3（必修）》中的有关

2、内容，解决这个问题的方法是:先作散点图，如下图所示：从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间兀与位置观测值y之间有着较好的线性关系.因此可以用线性回归方程來刻画它们Z间的关系.根据线性回归的系数公式，■”b=V£彳一兀（兀）21=1a=y-bx可以得到线性回归方为y=3.5361+2.1214x,所以当x=9时，由线性回归方程可以估计其位置值为y=22.62872.问题：在时刻x=9时，质点的运动位置一定是22.6287c加吗？二.学生活动思考，讨论：这些点并不都在同-•条直线上，上述直线并不能耕确地反映x与y之间的关系，y的值不能山

3、兀完全确定，它们之间是统计相关关系，y的实际值与估计值Z间存在着误差.三.建构数学1.线性冋归模型的定义：我们将川于估计y值的线性两数a^bx作为确定性函数；y的实际值与估计值Z间的误差记为£,称Z为随机误差;将y=a-rbx+E称为线性回归模型.说明:（1）产生随机误差的主要原因有:①所用的确定性两数不恰当引起的谋差；②忽略了某些因素的影响；③存在观测误差.（2）对于线性冋归模熨，我们应该考虑下面两个问题：①模型是否合理（这个问题在下一节课解决）；②在模型合理的情况下，如何估计G,/??1.探求线性回归系数的绘佳估计值：对于问题②，

4、设有”对观测数据（兀，必）（i=l,2,3,•••,〃），根据线性回归模型，对于每一个兀,对应的随机误差项勺=X—（0+方兀・），我们希望总误差越小越好，即要使工越小越好.所/=1以，只要求出使取得最小值时的Q,0值作为Q,的估计值，i=记为2,b.注：这里的

5、吕

6、就是拟合直线上的点（兀，°+bxt）到点£（托，X）的距离.用什么方法求2,b?回忆《数学3（必修）》“2.4线性回归方程”P71"热茶问题”中求Q,b的方法：最小二乘法.利用最小二乘法可以得到2,2的计算公式为”工兀)[-m二心】^xf-n(x)2/=1吕一一》（兀一切（

7、开一），）$=Z——工（兀-兀）21=1a=y-bx由此得到的直线y=a+bx就称为这斤对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程.其中厶，&分别为a,Z?的佔计值，2称为冋归截距，&称为冋归系数，$称为冋归值.在前面质点运动的线性回归方程$=3.5361+2.1214x中，2=3.5361,&=2.1214.1.线性回归方程y=a^bxlla9b的意义是:以d为基数，x每增加1个单位，y相应地平均増加b个单位；2.化归思想(转化思想)在实际问题中，有时两个变疑之间的关系并不是线性关系，这就需要我们根据专业知识或散点图,对某些特殊的

8、非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数•下而列举些常见的曲线方程，并给出相应的化为线性冋归方程的换元公式.(1)令y'=yx'=—9则有y'=a+bx'.xx1=Inx,a'=Ina9则有y'=a'^bx'.(3)y=aebx令y1=Iny,x'=x9a1=a则有y'=a^hxh(4)y=aex,令y1=Inyx'=—9a'=a9则冇=x(5)y=a+hx,令y'=y,xr=Inx,则有yl=a+bx'.一.数学运用1.例题：例1.下表给出了我国从1949年至1999年人口数据资料

9、，试根据表屮数据估计我国2004年的人口数.年份19491954195919641969197419791984198919941999人口数/百力5426036727058079099751035110711771246解：为了简化数据，先将年份减左1949,并将所得值用兀表示，对应人口数用y表示，得到下而的数据农:X05101520253035404550y5426036727058079099751035110711771246作出11个点(x,y)构成的散点图,山图可知，这些点在一条直线附近，可以用线性冋归模型y=a+bx+e來

10、表示它们之间的关系.根据公式(1)可得g14.453,V丄527.591.这里的a.b分别为a.b的估计值，因此线性回归方程为$=527.591+14.453兀由于2004年对应的x=55，代入线性回归方程