知识结构(右图)

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1、一、知识结构：（右图）二、基本知识点：概念是数学理论的基础、概念性强是屮学数学屮函数理论的一个显著特征，函数三要索；反函数；函数的单调性，最大（小）值等是函数有关概念的重要内容.1•映射的定义（1）映射f:A->B说的是两个集合A与B间的一种对应，两个集合是有序.定义反函数映射厂—般研究—具体函数图像-二次函数指数-指数函数「对数一对数函数（2）映射必须是“多对一”或“一对一”的对应，即允许集合A中不同元索在集合B中有相同的象，但不耍求B中的元素在A中都有原象，有原象也不要求惟一，象集可以是£白勺直子集.（3亍映射^所涉及两个集合A、

2、B（均非空），可以是数集，也可以是点集或其他类元素构成的集合.2•函数的概念（1）函数是一种特殊的对应，它要求是两个集合必须是非空数集；函数y=/（x）是“y是x的函数”这句话的数学表示，英屮x是自变量，y是自变量x的函数，f是表示对应法则，它可以是一个解析式，也可以是表格或图象，也有的只能用文字语言叙述.（2）函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要索，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只冇定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.（3）确定函数定义域是函数这部分所涉及的重要问题Z-,应

3、会求各种函数的定义域，若为实际问题还应注意实际问题冇意义.3•函数的单调性（1）它是一个区间概念，即函数的单调性是针对定义域内的区间而言的，谈到函数的单调性必须指明区间（可以是定义域，也可以是定义域内某个区间），例如函数y二丄在（-°°,0）上是减函数，在（0,+°°）上也是减函数，但决不能讲函数y二丄是减函数.（2）用函数单调性定义来确定函数在某区间是增函数还是减函数的一般方法步骤是：取值作差化积定号・（3）由函数单调性的定义知，当自变量由小到大，函数值也由小到大，则为增函数，反之，为减函数；出函数图象的走向十分直观反映函数变化趋势

4、，当函数的图象（曲线）从左到右是逐渐上升的，它是增函数，反Z为减函数.4•反函数（1）对于任意一个函数y=/（x）不一定有反函数，如果有反函数，那么原函数y=/（兀）与它的反函数是互为反函数.（2）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域，在求反函数时，应先确定原函数的值域.（3）求反函数的步骤是“一解”“二换”•所谓一解，即是首先由给出原函数的解析式y=/（%）,反解出用y表示x的式子x=二换，即是将x=f~］（y）中的x,y两个字母互换，得到y=即为所求的反函数（即先解后换）・（4）在同一直角坐标系中，函数）p/

5、（%）与x=J'S）是表示同一图象,y=f（x）y=的图象关于直线y二x对称.（5）一般的偶函数不存在反函数，奇函数不一定存在反函数.(6)原函数与英反函数在其对称区间上的单调性是一致的.5.y=ax(a>0且aH1)的图象和性质；y=log“x(a>0且aH1)的图象和性质.6.方法总结⑴相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同・⑵函数表达式的求法：①泄义法；②换元法；③待泄系数法.⑶反函数的求法：递解x,互换x、y,注明反函数的定义域(即原函数的值域).⑷函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函

6、数的泄义域•常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;④零指数幕的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.⑸函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判別式法；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法•⑹单调性的判泄法：①设xHx2是所研究区间内任两个自变量，且x】Vx2；②判定f(xj与fix?)的人小；③作差比较(或作商比较)・⑺奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-X)二f(x)为偶函数;f(-X)=-

7、f(x)为奇函数；②f(-x)-f(X)=0为偶；f(x)+f(-X)二0为奇；③f(-x)/f(x)=l是偶；f(x)-Ff(-X)=-1为奇函数.⑻图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图彖的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图彖与对称性描绘函数图彖.⑼解决函数应用问题的一般程序是：①审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；②建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型.③求模：求解数学模型，得到数学结论.④述原：将用数学方法得到的结论，述原为实际问题的意义.三、巩固训练(20

8、04年高考试题)广东卷16.函数f(x)=7n(Jx+l-1)(x〉0)的反函数/~l(x)=(e2x+2ex(xe/?)).全国卷三理⑸函数y=Jlog/F-l)的定义域是()A.[-V2<1)U(1,V2]B.(-V