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1、有关对称问题的求法小结河南省周口市淮阳县第一高级中学数学组张明选摘要：对称问题是高中数学的一个重要知识点，部分题目还会涉及光线反射等一些实际的应用，有关对称问题的求解，除了初中时期学习的数形结合的方法外，高中学习过直线方程后，更明了了其理论基础，本文，我从对称的理论原理出发探讨对称问题的具体求解方法。关键词：中点坐标；斜率；交点坐标；对称对称问题是高中数学的一个重要知识点，是学牛的学习难点，也是不少教师的教学难点。高中数学中所涉及到的对称问题主要包括：点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于直线的对称。这里
2、我就这三种对称关系的求法给以总结，以便我们能够系统理解有关对称问题的具体求法。一•点关于点的对称大家应该很熟悉平而直角坐标系中的一个点P关于原点对称的点P的坐标写法，即将点P的横纵处标都变为他们的相反数即可C这种做法在初中的时候很多老师就要求学牛记忆过，但是其理论基础是高中学习的中点朋标公式，我们也正是利用中点朋标公式來解决任意两点（不单单是关于原点）的对称问题。例1.设点P］（xi，yj，求点P］关丁点Po（^o>>0）对称的点P?的处标.分析：当点P。是坐标原点时，我们可以直接写出点匕的坐标为卩2（-州，
3、-）1），但是对于任意的点Po我们就不能直接写出对称点匕的坐标，而必须利用中点坐标公式.解：设点P?的处标是（兀2，儿），市于片与P?关于点P。对称，因此点P。是片与卩2两点的中点,所以有xo=>0=Xj+x22H+力2解得x2=2x0-xl)?2=2儿一开对称点卩2的坐标是（2兀0-兀］,2y0-y,）.二•点关于直线的对称根据数形结合的思想，我们知道点关于坐标轴对称的求法，甚至我们知道一个点关于一特殊的直线y=x的对称的点朋标的写法，给定一个点P（x,y），则它关于直线y=x对称的点Q的坐标是（y,x）.
4、但是当这一特殊的直线（坐标轴和y=x直线）变为一般的直线时，点关于直线的处标的求法就耍利用高中阶段学习的两直线垂直时的斜率关系式，以及点与直线的位置关系方程•其实这也止是点关于特殊直线对称的理论基础.我们假设已知点4的坐标是（兀（），儿），己知直线方程（非坐标轴直线）是y=d+求点A关丁•已知直线的对称点3的处标.设对称点我们只需求出兀和y的值即可.点A（x.fy.）与点B（xfy）关于直线y=kx^b对称，那么直线必垂直平分线段AB,所以有以下两点：线段的中点在直线上；AB所在的直线与直线y=kx+b相互垂
5、直。根据屮点坐标公式线段A3的屮点M込上，加丄在直线y=kx+b.k，点M就要满足直线方程，即宇+AAB所在的直线的斜率仏〃二二丁一儿，根据两直线垂直的关系：斜率的乘积等于1,有兀一％0「二=-1・x-x（）综上我们有以下方程组：）b+y=s（x（）+x）+2bVR・（y_y（））=_i•（兀_心）上述方程组中只有未知量兀,y,解此方程组可得点A关于已知直线y=kx+b的对称点B的坐标.例2.已知点4（-3,2）,求点A关于直线y=3x+5的对称点点B的坐标.分析：这是一个点关于直线对称的求解问题，针对这类问
6、题，我们只需利用上文分析的中点与航线的关系和两ft线的斜率关系即口J.求解上述方程组就可以得到刈称点的坐标.解：设点B（X』），点3与点A关丁•直线y=3兀+5对称，则我们有j2+y=3.（_3）+2x5卜心-2）=—1•（兀+3）、J3兀_y_1=0[x+3}?-3=0解得无=2,5y=
7、.所以点4关于直线y二3兀+5的对称点点B的坐标是三.直线关于直线的对称宜线关于直线的对称是以点关于直线的对称为基础的，其求解方法及求解的理论基础相同。但是直线关于直线的对称根据两直线的位置关系涉及到了两种不同的情况：当两
8、直线平行吋，对称直线的求法；当两直线相交吋对称直线的求法。并H直线关于坐标轴的对称直线的求法也可以归结到一般方法Z中.已知n线/,与丸线I的方程，求直线关于青线/对称的直线i2的方程.1.当两直线平行时直线厶与直线/平行，他们的斜率一定相等，设厶：y=kx+b,/：y=d+c.（"Hc）直线厶与立线厶关于直线/对称，此时两直线一定分布于直线Z的两侧，且立线厶的斜率也是k,所以我们设厶：y=kx+m,我们只需求出截距加即可得对称直线的方程.此时nJ以在已知直线厶上任取一点P（为计算方便，我们一般取厶上的特殊点，
9、例如厶为处标轴的交点），计算点P关于直线/的对称点P'的坐标（利用上文中点关于直线对称的求法），那么点P—定在直线/2：y=kx+加上，将求出的点P'的处标代入直线12的方程即可得到截距m的值，同时也就求得了対称冇•线厶的方程.例3.已知直线厶：y=2x+4,直线/：y=2兀+1,求直线厶关丁直线/对称的直线厶的方程.分析：此题即是两平行直线的对称问题，求解思路是根据斜率直接设出对称直线人的方程是y
