抛物线定义简单的运用

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1、抛物线定义简单的运用平面内，到一个定点F和一条直线/的距离相等的点的轨迹，叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线Z叫做抛物线的准线。在解题过程中，很多问题利用定义解题会很方便，下面举例说明。例1：求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆一定和准线相切。分析1：可根据抛物线的定义，只需证明

2、AB

3、是线段AB屮点C到准线距离的2倍.证法1：设抛物线方程为=2px(〃＞0),焦点F(#,0),准线—V，过F的直线与抛物线相交于AO],)%)、B(x2,y2),中点为C,如图所示，则根据抛物线的定义IAB=%]

4、+彳+兀2+彳=P+兀】+禺而圆心C到准线的距离为*(X]+兀2)+#=£(〃+兀1+兀2)=*丨A3

5、故以焦点弦为直径的圆与准线相切。分析2：如图所示，M为弦AB的中点，若证得MM}=-AB即可说明以AB为直径的圆与准线相2切。证法2：设M为AB的中点，由A、M、B分别向准线/作垂线，垂足依次是人、B]O则

6、AB

7、=

8、AF-^-BF=AAi+BB}=2

9、MM,即

10、MM]

11、=丄

12、AB

13、。2・・・以焦点弦为直径的圆与其准线相切。评注：数形结合的数学思想方法在解析几何屮有很多的应

14、用，在学习中，读者耍善于把己知条件转化成图形中量与量的数量关系及其位置关系，再由图形去研究问题。例2：如图，已知抛物线的焦点为F(5,l),准线方程为X=O(1)(2)(3)求抛物线方程；求焦点到顶点的距离;求顶点坐标；(4)己知A(6,2),在抛物线上求一点Q,7/R0/A(6,2)0

15、QA

16、+

17、QF

18、最小。分析：该抛物线方程不是标准方程形式，应根据抛物线定义求它的方程。解：（1）设抛物线上任意一点M（x,刃，根据定义可得J（X-5）2+（），+1）2=

19、尢_1

20、,整理可得（y—l）2=8（兀一

21、3）,这就是所求的抛物线方程。（2）根据抛物线儿何特征，抛物线焦点到顶点的距离应是焦点到准线距离的一半，而焦点到准线的距离为5-1=4,故焦点到准线的距离为2o（3）根据抛物线顶点性质及屮点坐标公式，顶点坐标为（3,1）。（4）过A点作准线的垂线，垂足为R,交抛物线于Q,则Q点即为所求，设抛物线上另有一点Q'（异于q点），点Q'到准线的距离为

22、Q

23、,则IQA

24、+1QF

25、二

26、QA

27、+1QR!

28、>

29、QA+QRHARI25x=—8y=2即Q点使IM+I0FI最小。由y=29，解得＜心-1)2=8(—3

30、)故取最小值时Q点坐标为（—,2）。8评注：本题充分应用抛物线的定义及几何特征解决问题，曲线的几何特征是曲线本身具有的性质，与曲线在坐标系屮的位置无关。例3：若点A的坐标为（3,2）,F为抛物线/=2%的焦点，点P是抛物线上的一动点,则求

31、P4

32、+1PF

33、取得最小值时点P的坐标。分析：・・・

34、PF

35、等于P点到准线的距离，A在抛物线内部，・・・

36、P4

37、+

38、PF

39、的最小值是由A点向抛物线的准线%=-丄作垂线（垂足为B）吋垂线段AB的长度。・・・

40、PA

41、+

42、PF

43、最小时，P点的2中纵坐标为2,从而得P的横坐

44、标为2,即P点的坐标是（2,2）。此题是根据抛物线的定义，运用了数形结合是思想简捷地得出了答案。抛物线定义是分析、解决问题的重要依据，巧妙简捷的解题常常来源于定义的恰当合理应用，只有熟练掌握每一个定义的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地用定义解题。