教案--20111031-3复习课：均值不等式-学案

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1、作业完成情况教学内容教学目标教学重点教学难点尚师教育教师教案课题高1数学总结之不等式（2）:均值（基础）不等式授课时间年月口星期时分……时分教师王鹏兴学生年级高1学科数学基础不等式及其应用利用基本不等式解决最值问题基础不等式的应用基础不等式的应用新课内容—、知识回顾:二、本节内容：1.两个基本不等式（1）圧、2ab,（a,beR）,（当且仅当a=b时等号成立）。基础不等式1（2）2,（当且仅当戸b时等号成立）。基础不等式2算术平均数：几何平均数:说明：1、算数平均数与几何平均数：2、基础不等式2的应用原则一正、二定、三相等3：积与和的关系:如

2、果R,h》=P(定值)，当x=y时，z+y有最小值.(简记为：积定、和有最小值)如果jc、yWR,«r+y=S(定值)，当x=y时，无』有最大值•(简记为：和定、积有最大值)(-)基础不等式2的运用：一、配凑1.凑系数例1.当0<4时，求尹=兀©-2x)的最人值。解析：由0UXU4知，8-2x>0,利用均值不等式求故值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式了积的形式，但其和不是定值。注意到2^+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可。尹=x(—2x)=£[2x・(8-2x)]<

3、(2x+^2x)2=8当且仅当2x=

4、8-2x,即x=2时取等号。所以当x=2时，的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。2.凑项x<-f(x)+—例2.己知4，求函数-5的最大值。(Ax_2)•解析：由题意知4x-5<0,首先要调整符号，又不是定值，故需对4兀-2进行凑项才能得到定值。x<-,5-4x>0…4■/(x)=4x-2+-l^=-(5-4x+^l-)+3•4x~55-4x••<-2」(5-4x)・^^+3=-2+3=1Y5-4x5-4x=—当且仅当5_4x,即x=1时等号成立。评注：本题需要调整项的符

5、号，乂要配凑项的系数，使其积为定值。1.分离y=例3.求X2+7x+10的值域。解析：木题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含冇(x+1)的项，再将其分离。=(x+l)+丄+5x+1/+7兀+10_(x+l)2+5(x+l)+4x+1x+1(x+1)•-4v+5=9VX+1(当口仅当X=1吋取“=”号)o当x+1<0,即x<-1时心-2(x+l)・-4v=lYX十1(当且仅当x=-3时取“=”号)。的值域为(一p1]Y[%+8)y=mg(x)++B(A>0,w>0)评注：分式两数求最值，通常化成M(x),g(x)恒正或恒负的形式，然后

6、运用均值不等式来求最值。二、整体代换11I-—+—例4.己知位>0,&>0,幺+禺=1,求a&的最小值。解法1：不妨将匚務乘以1,而1用a+2b代换。•(a+2b)A1(a+b=1+色+纟+2ab2ba——+—ab>3+2vT•b=3+2V22b_a当且仅当ab时取等号，由2i>_aab,得a+2D=1a=V2-111V2-72一1-b+1-a-f11—+—解法2：将幺&分子中的1用&+代换。a+2ba+2b.2ba-+=1+——+—+2abab=3+竺+兰23+2庞ab(=3+竺+纟竺纟"丄+丄评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到a“，而幺

7、与必的积为定值，即可用均值不等式求得ab的最小值。三、换元Jx+22兀+5的最大值。y=例5.求甫数2x+5解析：变量代换,十E则"d，则厂齐当t=0时，y=0y=2，至当且仅当£,即2时取等号。X=_#时,a=务故24。评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型两数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。四、取平方y=J2x-1+丿5-2x(g

8、又八所以0<心血3X=—当且仅当2x-1=5-2x,即2时取等号。故Am典=2血。评注：木题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意--些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。练习：I:已知a>0,Z?>0且4a+b=1,则ab的最大值是2•已知函数(1)当x>0时，求函数最值(2)当x<0时，求函数最值a>7（。>3）3.求证：a_34.设函数f(x)=x+寸pxe[O,+oo).⑴当a=2时，求函数f(x)的最小值；(2)当0

9、函数f(x)的最小值.9x>1的最小值。6v求y=—2x+2，兀>1的最大值。引申、求函数的值域。1、y=x+—函数图象2、技术处理:(二)、综合运用：说明：222