追求意境融彻的课堂教学

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1、追求意境融彻的课堂教学——六谈数学课堂教学设计的艺术陈柏良（浙江省绍兴市高级中学）明朝朱承爵《存馀堂诗话》有云：“作诗之妙，全在意境融彻，出音声之外，乃得真味。”古代诗人多讲究诗歌的意境，许多独具匠心的诗人，常将自己的主观情思与客观景物有机交融，追求属于主观范畴的“意”和属于客观范畴的“境”的完美融合，从而创造出一首首脍炙人口的不朽诗篇，这是一种艺术境界。一节好的数学课也应追求“意”和“境”的完美融合，想表达什么样的“意”？通过怎样的“境”来构和？以最终实现“意”与“境”的浑然一体。本文拟通过笔者的一则课堂教学案例浅述之。图1我们知道，平面向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有

2、几何的直观性．在中学数学教学中常常把向量定位为研究几何问题的一种“工具”。在平面向量的教学中，一般都会学到这样一个结论：若存在两个实数，且，使得，则三点共线。反之，若是直线上任意两点，是外一点，则对直线上任意一点，必存在实数，使得，且。这一结论显现了平面几何中的“三点共线”可以用向量线性表示。结论形式简约，昭示了平面几何与向量之间的内在联系，在中学数学中应用极为广泛。为此，笔者在高三复习平面向量有关知识时设计了如下教学：问题1：如图1，长度都为2的向量的夹角为，点在以为圆心的圆弧（劣弧）上，，则的最大值是．学生阅题后开始思考，稍后有学生提出了解题方法.学生1:以为原点，直线为轴建

3、立平面直角坐标系，则，设，则。由得，从而所以因为，故当时，的最大值为。笔者对该同学的思考成果予以了充分肯定,并指出：建系设点，用坐标表示向量，是一种重要的方法，其中包含很深邃的思想，即数形结合的思想，实际是向量的代数表示。这样表示后，即可使向量运算完全代数化，这是我们解决向量问题的一种常用方法。学生2：将两边平方，得，从而，即，因为，所以，易求得的最大值为。教师：为什么会想到将已知表达式进行两边平方？学生2：因为向量的模和向量6的夹角是已知的，两边平方可以得到与的关系式，且易知均为正数，自然想到了运用均值不等式来求解。在日常教学中，笔者经常会问学生是如何找到解题的逻辑起点的？因为

4、数学这个东西是靠着逻辑吃饭的，是靠着逻辑演绎向前推进和发展的。当我们把学生抱到了逻辑的起点上，告诉他（她）这个逻辑关系是怎样的，他肯定会按照逻辑的顺序往前跑。问题是他（她）自己能不能去找到这个逻辑起点，因而，课堂上，应该多问学生：你是怎么想到的？显然，构造与的数量积，运用这两个向量夹角为已知值的这一条件是催生这种解法的突破口。事实上，在向量等式的两边“点乘”某个向量，构造数量积，也是解决向量问题的一种常用方法。学生2对已知等式进行两边平方，实际上是两个相等向量自身作了一次“点乘”。教师：还有别的思考方法吗？学生3：我一开始就猜想：当点处在圆弧（劣弧）的中点时，的值最大。于是我用“

5、解三角形”的方法，求出了，从而得的最大值为．教师：从学生1的求解结果看，当时，即点处在圆弧（劣弧）的中点时，的值最大。你一开始的这种猜想显然与求解结果一致。在数学上，对一个问题未经逐步分析，仅依据内因的感知迅速地对问题答案作出判断，猜想、设想，或者在对疑难百思不得其解之中，突然对问题有“灵感”和“顿悟”，甚至对未来事物的结果有“预感”“预言”等，称之谓直觉思维。直觉有时候与事实相符，有时候与事实不符，有了直觉，还需要回过头来冷静地分析其客观性。因而，你结果正确，但客观性的分析必须跟进。其他同学还有别的解题思路吗？学生陷入了沉思。图2笔者有意想以此题为载体，运用此“境”来表达“三点

6、共线”与“向量表示”这一内在联系的“意”，进一步领悟数形结合思想。于是进行了启发：我们知道，若是直线上任意两点，是外一点，则对直线上任意一点，必存在实数，使得，且。你能联系这一结论求解此题吗？在笔者的启发下，同学们跃跃欲试。学生4：如图2，连接，与交于点，设，由，得，即.因为点三点共线，所以，即，而，显然，当取最小值时，值最大。即当垂直于直线时，值最大。此时，，故的最大值为．教师：要善于分析已知条件的结构特征，并与图形建立联系，寻找解题思路。6由于向量兼具代数和几何的双重特性，因而使问题的求解显得更为灵活多样。有时，教师的灵机捕捉，会丰富知识的应用背景，拓宽解题思路，从而到达优化

7、学生思维品质的目的。此题若固步于学生1与学生2的求解方法，未在此基础上再引导学生“探一探”，就错失“领略”向量与三点共线知识的应用美“境”。事实上，笔者设计“问题1”，意在两个方面：其一，唤起学生解决向量问题的常用方法，也就是易学到手的通用方法；其二，在常用方法掌握的基础上，联想“三点共线的向量表示”这一数形结合的思想方法求解本题，拓宽学生的解题思路，这不仅在于可丰富学生知识应用的背景，更在于可优化学生的思维品质，训练学生的思维。后者是笔者本节课关注的一个重点。为达成此“意”，笔