线性方程组和矩阵知识总结

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1、线性方程组和矩阵知识总结吴荣魁2013201363线性方程组的基本概念其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量它满足:当每个方中的未知数xi都用ki替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解b1=b2=…=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐

2、次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.线性方程组的解法（1）、写出线性方程组的增广矩阵。（2）、用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵。（3）、看阶梯形矩阵的最后一个非零行的首非零元是否在最后一列。如果是，则方程组无解；反之方程组有解。（4）、在有解的情况下，找出阶梯形矩阵中非零行的个数r。如果r=n，则方程组有唯一解；如果r

3、只有一列的矩阵。（3)零矩阵——所有元素都等于0的矩阵。（4)当时称为阶方阵；所在的对角线称为方阵的主对角线。（5）主对角线下（上）方的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵。（6)主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角阵，记为，简记为。（7)单位阵记以。注　（1）只有1列或1行的矩阵分别称为列矩阵或行矩阵，也被称为列向量或行向量。这样，它们就有了矩阵和向量的双重“身份”。（2）矩阵也称为阶方阵或阶矩阵，而1阶矩阵被约定当作“数”（即“元”本身）对待，当然“数”是不能当作1阶矩阵来对待的。（3）单位阵、对角阵、三角阵是特别简单的一些方阵，在今后讨论的基

4、本运算中，它们各表现出一些简单特性，这就使它们在形成或训练解决问题的矩阵方法中都将有重要作用。对线性方程组(1)称为(1)的系数矩阵，称为(1)的增广矩阵。矩阵的行(列)初等变换：   (1) 对换矩阵的两行（列），用表示对换两行（列）的行（列）初等变换，即（）；   (2) 用非零数乘矩阵的某一行（列），用表示以乘矩阵的第行（列）的行（列）初等变换，即；(3)将矩阵的某行(列)乘以数再加入另一行（列）中去，用表示乘矩阵的第行（列）后加到第行（列）的行（列）初等变换，即。4、矩阵的等价定义将矩阵的行经有限次初等变换化为，称与等价，记作。5、行阶梯形

5、矩阵与最简形矩阵定义3若矩阵的零行（元素全为零的行）位于的下方，且各非零行（元素不全为零的行）的非零首元（第一个不为零的元素）的列标随行标的递增而严格增大，则称为行阶梯形矩阵。定义4若行阶梯形矩阵的各非零首元均为1，且各非零首元所在列的其余元素均为零，则称为最简形。6、用初等变换线性方程组的解1)将(1)的增广矩阵用行初等变换化为最简形；2)由最简形对应的方程组得到解。矩阵的秩矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵中不为零的最高子式，算出它的阶数．（2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵化为标准形，即可得出；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．

6、矩阵秩的性质（1）（2）=（3）（4）（5）若，则即初等变换不改变矩阵的秩，证明见课本．（6）（7）若，则（8）为任意矩阵，则