泰勒斯定理的高维证明

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1、泰勒斯定理的高维证明准备工作1.定义一个N维单位矩阵A(主对角线上的数值全部等于1)：其行向量依次为A1,A2……An2.定义一个N维正交矩阵B(矩阵的秩=1)：其行向量依次为B1,B2……Bn且B坐标系与A坐标系原点重合3.定义一个N-1维幺矢向量T(即模=1)：其坐标表达式为(T1,T2……Tn-1)4.定义直线与N-1维空间法向量的夹角x：因为N-1维空间的外部特征向量是该空间的法向量，并且直线与它在该法向量上的投影形成两个互补的夹角，这两个夹角中小于π/2的那一个角称为直线与N-1维空间法向量的夹角。如果直线垂直于该空间的法向量，规

2、定它们的夹角为π/2；如果直线平行于该空间的法向量，规定它们的夹角为0。考虑到若Bn.An=0且x=π/2时定理不成立所以下面所有x的定义域都设置为[0,π/2)左闭右开区间5.定义一个2维幺矢向量：其坐标表达式为(Cosx,Sinx)6.定义一个N维球：其向量表达式为(V.B1)^2+(V.B2)^2+……+(V.Bn)^2=R^2(R>0)7.定义一个与N维球相交且垂直于Bn向量的N-1维空间：其向量表达式为V.Bn=R*Cosx8.定义一个垂点P：其向量表达式为P=R*Cosx*Bn9.确定6与7构成的联立方程的通解F：其向量表达式为

3、F=R*F0=R*[Cosx*Bn+Sinx*(T1*B1+T2*B2+……+Tn-1*Bn-1)]F0为解向量的幺矢并且F0.An不等于1其坐标表达式为(M1,M2……Mn)且Mn的数值不等于R10.延长垂点P至P1：其向量表达式为P1=R*Secx*Bn其坐标表达式为(W1,W2……Wn)11.确定投影视点P2：其向量表达式为P2=R*An12.确定投影空间：因为是球极投影所以投影空间是一个垂直于An的N-1维空间，其向量表达式为V.An=P1.An=Wn该投影空间经过P1点纯粹为了方便证明13.确定F与P2的差向量L1：其向量表达式为

4、L1=R*(F0-An)其坐标表达式为(M1,M2……Mn-R)14.确定P1与P2的差向量L2：其向量表达式为L2=R*(Secx*Bn-An)其坐标表达式为(W1,W2……Wn-R)15.确定比例系数K：其代数表达式为K=(Wn-R)/(Mn-R)16.定义方程通解的投影点P3：其向量表达式为P3=K*L1+P2=R*[K*F0+(1-K)*An]其坐标表达式为(K*M1,K*M2……K*Mn-1,Wn)开始证明：现在依泰勒斯定理的引申意P3的集合应该是一个以P1为中心的N-1维球现在我们只要证明P2与P1的间距S恒定即可。推导过程如下

5、所示：S^2=(K*M1-W1)^2+(K*M2-W2)^2+……+(K*Mn-1-Wn-1)^2+(Wn-Wn)^2=(K*M1-W1)^2+(K*M2-W2)^2+……+(K*Mn-1-Wn-1)^2=K^2*(M1^2+M2^2+……+Mn-1^2)+(W1^2+W2^2+……+Wn-1^2)-2*K*(M1*W1+M2*W2+……+Mn-1*Wn-1)=K^2*(R^2-Mn^2)+((RSecx)^2-Wn^2)-2*K*(V.P1-Mn*Wn)其中V.P1=V模*P1模*(F0.Bn)=R*R*Secx*Cosx=R^2=K^2

6、*(R^2-Mn^2)+((RSecx)^2-Wn^2)-2*K*(R^2-Mn*Wn)=R^2*(K^2+Secx^2-2*K)-(K*Mn-Wn)^2=R^2*[(Secx^2-1)+(K-1)^2]-(K*Mn-Wn)^2=R^2*[Tgx^2+(K-1)^2]-(K*Mn-Wn)^2=(R*Tgx)^2+[R*(K-1)]^2-(K*Mn-Wn)^2其中[R*(K-1)]=R*(Wn-Mn)/(Mn-R)(K*Mn-Wn)=[Mn*(Wn-R)-Wn*(Mn-R)]/(Mn-R)=R*(Wn-Mn)/(Mn-R)两值相等平方差=0=

7、(R*Tgx)^2推出S=R*Tgx证明完毕需要指出在任意不经过投影视点P2的投影空间中，经投影得到的N-1维球的中心都在由投影视点P2与P1点构成的射线上；当投影空间经过投影视点P2时，无论通解V是否与投影视点P2重合，P3的集合都收缩于投影视点P2，但并不影响定理的成立。现在我们研究一下假设存在一个比例系数K使得下面等式成立，看看K值有何变化(K*M1-W1)^2+(K*M2-W2)^2+……+(K*Mn-1-Wn-1)^2=(R*Tgx)^2推导过程：K^2*(R^2-Mn^2)+((R*secx)^2-Wn^2)-2*K*(R^2-

8、Mn*Wn)=(R*Tgx)^2K^2*(R^2-Mn^2)+(R^2-Wn^2)-2*K*(R^2-Mn*Wn)=0[R*(K-1)]^2-(K*Mn-Wn)^2=0解方程:[