高数中需要掌握证明过程的定理(一).docx

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1、高数中的重要定理与公式及其证明（一）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来

2、看都是应当熟练掌握的。由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明过程是必要的。1）常用的极限limln(1x)ex1ax1lna，lim(1x)a11cosx1x1，limx1，limxxa，limx22x0x0x0x0x0【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想1过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限lim(1x)xe与x0limsinx1的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技x0x巧。证明：ln(1x)1ln(1x)lim1：由极限lim(1x)xe两边同时取对数即得lim

3、。xx1x0x0x0limex11：在等式limln(1x)1中，令ln(1x)t，则xet1。由于极限x0xx0x过程是x0，此时也有tt1。极限的值与取极限的符号0，因此有limt0et1是无关的，因此我们可以吧式中的t换成x，再取倒数即得limex11。x0xlimax1lna：利用对数恒等式得limax1limexlna1，再利用第二个极限可x0xx0xx0x得limexlna1lnalimexlna1lna。因此有limax1lna。x0xx0xlnax0xlim(1x)a1a：利用对数恒等式得x0xlim(1x)a1limealn(1x)1alimealn

4、(1x)1ln(1x)alimealn(1x)1limln(1x)ax0xx0xx0aln(1x)xx0aln(1x)x0x上式中同时用到了第一个和第二个极限。xsinx21cosx11cosx2sin211：利用倍角公式得lim222。limx22lim2limx2x0x0xx0x2x022）导数与微分的四则运算法则(uv)'u'v',d(uv)dudv(uv)'u'vuv',d(uv)vduudv(u)'vu'uv',d(u)vduudv(v0)vv2vv2【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，

5、通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。3）链式法则设yf(u),u(x)，如果(x)在x处可导，且f(u)在对应的u(x)处可导，则复合函数yf((x))在x处可导可导，且有：f((x))f'(u)'(x)或dydydu'【点评】：同上。dxdudx4）反函数求导法则设函数yf(x)在点x的某领域内连续，在点x0处可导且f'(x)0，并令其反函数为xg(y)，且x0所对应的y的值为y0，则有：'11dx1g(y0)f'(x0)f'(g(y0))或dydydx【点评】：同上。5）常见函数的导数x'x1

6、，'cosx，cosx'sinx，sinxlnx'1，logax'1，xxlnaex'x，ax'xeelna【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。证明：xx1：导数的定义是f'(x)limf(xx)f(x)，代入该公式得'xx0xlim(xx)x(1x)11lim(1x)1x1。最后一xxxx'xxxx0x0x步用到了极限(1x)a1x0的情形。limxa。注意，这里的推导过程仅适用于x0x0的情形需要另行推导，这种情

7、况很简单，留给大家。sinxcosx：利用导数定义sinxlimsin(xx)sinx，由和差化积公式得''x0xlimsin(xx)sinxlim2cos(xx)sinxcosx。cosxsinx的证明类22'x0xx0x似。1ln(xx)lnxln(1x)1''x：利用导数定义lnxlim。lnxxlim0xxxxx01lnx）。logax'的证明类似（利用换底公式logaxxlnalnaex'x：利用导数定义x'e(xx)exxex1x。ax'xlna的eelimxlimeeex0x0x证明类似（利用对数恒等式axexlna）。6）定积分比较定