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1、《matlab与数学实验》实验报告实验序号：实验四日期：2015年5月25日班级132132002姓名彭婉婷学号1321320057实验名称求微分方程的解问题背景描述实际应用问题通过数学建模所归纳而得到的方程，绝大多数都是微分方程，另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）．这就要求我们既要研究微分方程（组）的解析解法（精确解），更要研究微分方程（组）的数值解法（近似解）．实验目的本实验将主要研究微分方程(组)的数值解法（近似解），重点介绍Euler折线法．实验原理与数学模型MATLAB7.11.0主要内容（要
2、点）1.求微分方程的通解．2.求微分方程的通解．3.求微分方程组在初始条件下的特解，并画出解函数的图形．4.分别用ode23、ode45求上述第3题中的微分方程初值问题的数值解(近似解)，求解区间为．利用画图来比较两种求解器之间的差异．5.用Euler折线法求解微分方程初值问题的数值解(步长h取0.1)，求解范围为区间[0,2]．选做：6.用四阶Runge-Kutta法求解微分方程初值问题的数值解(步长h取0.1)，求解范围为区间[0,3]．迭代法实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）1.求微分方程的通解．程序:clearsy
3、msxyy=dsolve('(x^2-1)*Dy+2*x*y=sin(x)','x')答案:y=-(C2+cos(x))/(x^2-1)2.求微分方程的通解．程序:clearsymsxyy=dsolve('D2y-2*Dy+5*y=exp(x)*sin(x)','x')simplyify(x/y)weijiao答案:y=(exp(x)*sin(x))/6-(sin(3*x)*exp(x))/8+(sin(5*x)*exp(x))/24+C4*cos(2*x)*exp(x)+sin(2*x)*exp(x)*(cos(x)/4-cos(3*x)/1
4、2+1/6)+C5*sin(2*x)*exp(x)3.求微分方程组在初始条件下的特解，并画出解函数的图形．程序:clearsymsxyt[x,y]=dsolve('Dx+x+y=0','Dy+x-y=0','x(0)=1','y(0)=0','t')ezplot(x,y,[0,1])(t的取值，t是与x,y相关的，如果不给范围，则会默认为一个较大的区间)simplify(x)simplify(y)答案:x=exp(2^(1/2)*t)/2+1/(2*exp(2^(1/2)*t))-(2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t))/4+2^(1/
5、2)/(4*exp(2^(1/2)*t))y=2^(1/2)/(4*exp(2^(1/2)*t))-(2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t))/4图形:4.分别用ode23、ode45求上述第3题中的微分方程初值问题的数值解(近似解)，求解区间为．利用画图来比较两种求解器之间的差异．先编写函数文件verderpol.m：clearfunctionxprime=verderpol(t,x)xprime=[-x(1)-x(2);x(2)-x(1)];再编写命令文件cleary0=[1;0];[t,x]=ode45('verderpol',[0
6、,2],y0);x1=x(:,1);x2=x(:,2);plot(x1,x2,'b-')holdony0=[1;0];[t,x]=ode23('verderpol',[0,2],y0);x1=x(:,1);x2=x(:,2);plot(x(:,1),x(:,2),'r-');图形:两种求解器之间的差异:ode45大部分场合的首选算法ode23使用于精度较低的情形但在此题中并没有体现出差异。5.用Euler折线法求解微分方程初值问题的数值解(步长h取0.1)，求解范围为区间[0,2]．程序：clearf=sym('y+2*x/y^2');a=0;
7、b=2;h=0.4;n=(b-a)/h+1;x=0;y=1;szj=[x,y];fori=1:n-1y=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y});x=x+h;szj=[szj;x,y];endszjplot(szj(:,1),szj(:,2))答案：szj=01.00000.10001.10000.20001.20100.30001.29340.40001.37280.50001.43590.60001.47810.70001.49210.80001.46440.90001.36621.00001.12171.10000.3836
8、1.2000-25.30541.3000-27.83581.4000-30.61931.5000-33.68121.6000-37.04921.700
