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1、第2课时指数与指数幂的运算(2)导入新课思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂.思路2.同学们,我们在初中学习了
2、整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂.推进新课新知探究提出问题(1)整数指数幂的运算性质是什么？(2)观察以下式子,并总结出规律：a＞0,①==a2=a;②==a4=a;③==a3=a;④==a5=a.(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？,,,(x>0,m,n∈N*,且n>1).(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？(5)你能推广到一般的情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,
3、特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示.讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=a·a·a·…·a,a0=1(a≠0);00无意义;a-n=(a≠0);am·an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.(2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根.实质
4、上①=a,②=a,③=a,④=a结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了,,,,形式上变了,本质没变.根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）.10/10(3)利用(2)的规律,=5,=7,=a,=x.(4)53的四次方根是5,75的三次方根是7,a7的五次方根是a,xm的n次方根是x.结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.(5)如果a>0,那么am的n次方根可表示为m=a,即a=m(a>0,m,n∈N*,n>1).综上所述,我们得到正
5、数的正分数指数幂的意义,教师板书:规定:正数的正分数指数幂的意义是a=m(a>0,m,n∈N*,n>1).提出问题①负整数指数幂的意义是怎样规定的?②你能得出负分数指数幂的意义吗?③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义?④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果?⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂
6、的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a＞0的必要性,教师及时作出评价.讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a-n=(a≠0),n∈N*.②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.规定:正数的负分数指数幂的意义是a==(a>0,m,n∈N*,n>1).③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.④教师板书
7、分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a=(a>0,m,n∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a==(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.⑤若没有a＞0这个条件会怎样呢?如(-1)=3-1=-1,(-1)=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a＞0的条件,比如式子3a2=
8、a
9、,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时
10、,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.10/10⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质:（1）ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q),（2）(ar
