为了看清图3.3.4中交叉项行为,我们将该图作了旋转,因

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1、为了看清图3.3.4中交叉项的行为，我们将该图作了旋转，因此，水平方向为频率，垂直方向为时间。　　　图3.3.3　例3.3.3的WVD　　　　　　图3.3.4　例3.3.4的WVD例3.3.5令　　　　　　　　　　（3.3.5）可求出其WVD为　　　　　　　　　　　（3.3.6）这是一个二维的高斯函数，，且是恒正的，如图3.3.5所示。由该图可以看出，该高斯信号的WVD的中心在处，峰值为2。参数控制了WVD在时间和频率方向上的扩展。越大，在时域扩展越小，而在频域扩展越大，反之亦然。其WVD的等高线为一椭圆。当WVD由峰值降到时，该椭圆的面积。它反映了时－频平面上的分辨率。　

2、　如果令　，，则的谱图　　　　　　　　　　　　（3.3.7）97　图3.3.5　例3.3.5的WVD,（a）高斯信号，（b）高斯信号的WVD它也是时－频平面上的高斯函数。当其峰值降到时，椭圆面积。这一结果说明，WVD比STFT有着更好的时－频分辨率。如果令　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3.3.8）式中是（3.3.5）式的高斯函数。是的时移加调制，其WVD是：　　　　　　　　　　　　（3.3.9）它将（3.3.6）式的由移至处。其WVD图形请读者自己画出。例3.3.6令　　　　　　　　　　　　　　　　（3.3.10）它是由（3.3.5）式的与97　　　　　　　

3、　　　　　　　　　　　　　　　　（3.3.11）相乘而得到的（在（3.3.9）式中，A=1）。我们已熟知为线性调频Chirp信号，其WVD是：　　　　　　　　　　　　　　　　（3.3.12）其图形我们已在图1.1.2中给出。（3.3.9）式的WVD是　　　　　　　　（3.3.13）它是恒正的。显然，高斯信号、Chirp信号都是（3.3.9）式的特例。如图3.3.6所示。　　　　　　　　图3.3.6　例3.3.6的WVD，（a）Chirp信号，（b）Chirp信号的WVD例3．3．7令为一多普勒信号。所谓多普勒信号指的是一个物体相对一个位置不变的“观察者（如雷达）”运动时，“

4、观察者”97所听到或所记录到的该物体运动的信号，如其运动的速度或发出的声音。众所周知，当该运动物体接近和远离“观察者”时，其信号当频率会发生变化。图3.3.7给出了该信号当时域波形、频谱及时－频分布。由该图可看出信号的能量随时间和频率的分布。图3.3.6　例3.3.6的WVD3.4Wigner分布的实现　如同许许多多的其它信号处理的算法一样，我们最终的目的是要将它们应用于科研或工程的实际。这时所遇到的问题同样是信号的离散化及数据的有限长问题。　　在（3.1.2）式中，若令对信号的抽样间隔为，即，并令，则，这样，（3.1.2）式对的积分变成对k的求和，即　　　　　　　　　　　

5、　（3.4.1）若将归一化为1，并考虑到相对离散信号的频率［19］，则上式变为：　　　　　　　　　　　　　　　　（3.4.2）97我们知道，将变成，则的频谱将变成周期的频谱，周期为，且对应的抽样频率为。与此同样的是，的WVD也变成周期的，但是，由（3.4.2）式，的周期为，即：　　　　　　　　　　　　　　　（3.4.3）众所周知，若的最高频率为，那么，抽样频率至少应满足。这是由抽样定理所决定的。如若按对抽样，那么用抽样后的做WVD，由于其周期变为，因此在WVD中必将产生严重的混迭。解决这一问题的直接方案是提高抽样频率，要求至少要满足　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

6、　　　　　　　　　　（3.4.4）但是，一旦信号由抽样变成后，要想对重新抽样是困难的。解决该问题的较为简便的方法有两个：　　１、采用解析信号，由解析信号的性质可知，将作Hilbert变换得到，按构成解析信号。只包含的正频率部分。这样，既可减轻由正、负频率分量所引起的交叉项干扰，又可在保持原有抽样频率的情况下，避免了频域的混迭；２、对作插值，人为地将其抽样频率提高。具体办法是：若想将抽样频率提高一倍，则可将每两点之间插入一个零，然后再让该信号通过一低通数字滤波器，从而将插入的这些零值变成原信号相应点的插值，有关插值的原理，详见本书第5章，此处不在讨论。　　对（3.4..3）式

7、，现余下两个问题要解决。一是频率仍需离散化，二是式中对的求和需要取有限长。式中是信号的时间序号，代表时移。现令　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3.4.5）97并假定的长度为，即，现分析一下的取值情况。如图3.4.1（a）所示，，将翻转得，现将、分别向左和向右移动个时刻，如取，，则如图3.4.1（b）和（c）所示。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（a）、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（b）、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（c）、　　　图3