缜思深究方能正确完善

《缜思深究方能正确完善》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、缜思深究方能正确完善——谈数学解题中容易忽视的典型问题许钦彪浙江省绍兴市稽山中学312000数学的灵活和严谨时刻体现在知识运用和解决问题中。从高中数学教学现状分析，由于受高考压力和每年增加的大量数学新题的影响，大部分中青年教师在数学教学时，主要偏重于数学知识运用的灵活性和解决问题的方法、技巧、创新能力方面，而无意中轻视了数学的严谨性，致使学生在解决数学问题时，虽然知识运用熟练灵活，方法技巧熟练掌握，但往往解答过程失之严密完整，而产生遗漏甚至错误结果。作为高中数学教师，教导学生学习掌握数学知识、方法和提高解决数学问题的能力是重要的教学目的和任务，但更重要的要让学生认识数学的

2、本质，培养数学思想，养成严谨正确的数学习惯和思维方式，在教学中体现和培养数学的核心素养，形成继续学习和持续发展的扎实基础。因而在教授数学知识和解题方法的同时，必须时刻重视数学的严谨性，及时发现和纠正思维的偏差和漏误，指导学生在灵活运用知识方法解决问题过程中，缜思深究，严谨细致，才能使数学思维和解法结果正确完善。本文就一些容易忽视和失误的典型问题列举几则具体和常见的实例，期望抛砖引玉，引起同行们的共鸣和讨论。一、深挖细究，充分利用隐含条件有些问题给出的信息中包含了隐含条件，隐含条件往往容易被忽略，从而导致解答走入歧路或产生错漏。以二则三角函数问题为例说明。例1.设，，求。分

3、析：这是一个非常简单的利用正余弦平方关系式的问题，但也是容易错解的问题。由两边平方得，。，，以上的解答就产生了增根。虽然有的学生已经注意到了：，。但还是得到了。如果注意到条件不但是告诉你这个值，而且还隐含了，即，虽然进一步得到了，但还是不够精确。继续探究挖掘：由，，，且，可知，，。可见，解题时，不能只看明显条件，还要注意隐含条件，而隐含条件是在不断探究挖掘下逐渐明朗精确，直至正确解答。这就需要缜思深究，方能使解答正确完善。例2：已知，，，求的值。分析：根据学生解题情况统计分析，大部分学生对此题的兴奋点和关注点在于角度的变化联系上，而忽视了角度范围及，的隐含条件，导致解答不

4、够完整。由已知得，。如果只注意到给出的明显条件，就得到了，，。若能考虑到，，则进一步有，。，得到，。但还是不够准确的。继续探究，考虑到，，，得到。可见，随着隐含条件的正确发现和利用，可以判断出，都是增根，正确的答案只有。二、重视公式、方法的前提条件在熟练掌握和灵活运用公式方法的同时，必须注意其应用的前提条件，忽视应用前提，往往得到错漏的结果。例3：已知实数，满足，求的最大值。分析：利用基本不等式求最值的前提是“一正、二定、三取到”，一般对“正”的要求学生是记住的，而对“定值、取到”却容易忽视或理解不深，从而产生错误解法。错解1：，的最大值是。这是较为典型和易犯的错误，事实

5、上当过程中出现多个不等号时，如果要取到最后的最值，就需要几个等号同时能取到，但这些等号往往不可能同时取到。比如这里第一个等号成立的条件是，第二个等号成立的条件是，这样就需要，与已知矛盾，所以是取不到的。错解2:当且仅当时取到，代入得到，的最大值是。这是忽视“定值”前提，混淆应用条件的典型错误。因为时取到最值的前提是或要是定值，没有定值这个前提，“时取最大值”是不正确的。正确解法是：由得到，当即，或，时，的最大值是。例4：已知，，，满足，，求的最大值。分析：学生基本上有以下两种解法。解法1：，最大值是。当且仅当，时取到。解法2：，。当且仅当时，取到最大值。两种解法得到的结果

6、不同，显然不可能都正确。其实解法1看似正确，细细探究，就可以发现要，同时取到，就必须要求，而给出的与不一定相等，所以解法1不正确。实质上仍是二个等号能否同时取到的问题。而解法2是完全正确的。例5：求过点的直线被椭圆所截弦的中点的轨迹方程。分析：直线和圆锥曲线的位置关系问题中，有关弦的端点、中点、斜率一类问题，“点差法”是行之有效的方法，但要注意其应用条件。如该问题用“点差法”的解决过程是：设弦的两个端点为，，弦的中点为。由相减得：，，又，。化简得，即。从以上“点差法”的解题过程看，解答似乎没有问题，但事实上是不准确的。我们可以由图形来看出，由于点在已知椭圆外，所以过该已知

7、点作已知椭圆的弦的中点轨迹不可能是完整的椭圆，而是其在已知椭圆内的一部分。因而需要求出的范围。当两个椭圆相交时，得到，即，所以所求轨迹方程是。也就是说，当解决过已知点作圆锥曲线的弦时，首先要判断该点是否在圆锥曲线内部，如在内部，“点差法”解决时，没有问题，如点不在内部，用“点差法”求出轨迹后，还需要进一步判断其范围。从数形结合考虑，当点在内时，过点作直线一定能与圆锥曲线相交得到弦，使中点存在。而当点在外时，过点作直线就不一定能与圆锥曲线相交，从而不存在弦和弦的中点。而“点差法”是不能表达这方面的情况的，所以要弥补其不足。因而，