二十世纪重大科技谋略(罗波等 )

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1、二十世纪重大科技谋略希尔伯特善提问数学王国领风骚希尔伯特善提问数学王国领风骚月8日，这位38岁的演讲者以十分高昂的姿态作了数学史上著名的《数学问题》的报告。在报告中，他共提出了23个数学问题，后来统称为希尔伯特问题，它指出了未来数学的发展方向。围绕着这些问题的解决形成了许多新的数学分支，对20世纪的数学研究产生了极其重大而深远的影响。1希尔伯特在学术生涯中迈出的第一步是彻底解决了数学上的果尔丹问题。果尔丹问题的一般叙述为：是否存在一组基（即一组个数有限的不变量），使得其他所有的不变量（尽管它们的个数有无穷多）都能够用这组基的有理整式表示出来？一个更简捷的叙述是：任何给定次数的

2、n元型的基（或有限完备系）的存在性。1868年，果尔丹曾经解决了二元型不变式有限基的存在性。当时他为此获得了一个“不变量之王”的雅称。在嗣后的20年间，果尔丹的结果虽得到各种推广，但要彻底解决问题还有很大的距离。从撰写博士论文起，希尔伯特对不变量理论就已经熟悉，其中的果尔丹问题引起了他的极大兴趣。1888年夏，在听了果尔丹本人的讲述后，他似乎体验到了一种前所未有的新境界。果尔丹问题唤起了他那丰富的想象力。他决定向果尔丹问题发起进攻。这是值得的，因为它具备一个重大而富有意义的数学问题应有的全部特点：清晰、易懂、困难、有意义。就在他告别果尔丹，途经哥廷根返回哥尼斯堡的时候，经过一

3、个短时期的努力，他已经把果尔丹对二元型情况的证明大大地作了改进。虽只是一个前哨战，但已使人们惊叹不已。果尔丹用了大半生努力证明的问题，竟被希尔伯特在一两个月的时间里，用四页纸的另一个证明所代替，这怎能不令人振奋呢？就是希尔伯特自己也很欢欣鼓舞，他看到了攻克一般果尔丹问题的曙光。1888年9月6日，希尔伯特给哥廷根科学会会刊寄出一份不长的论文摘要，宣布任意元代数形式（型）的果尔丹问题已经彻底解决。这简直令人难以置信。前几天还使人不敢问津的世界难题，怎么一下子就解决了呢？但事实确实如此。就像玩“哥伦布鸡蛋”那样，希尔伯特改变了解决问题的思路，他不去循那条由果尔丹开辟的老路，一个一

4、个地去构造有限基，而是证明有限基的存在，因为问题也只需要证明它存在就可以了。这样，希尔伯特证明的意义就不仅在于解决了问题，而且使人从昏睡的迷茫中惊醒——看到了一条证明存在性定理的崭新之路。也有不少人反对希尔伯特的做法。果尔丹不用说，就连希尔伯特博士论文的导师林德曼也觉得他的证明方法“古怪”得“有害”。在寥寥无几的最早支持者中，克莱因宣称这个方法“非常简单，在逻辑上是不可抗拒的”。但两年后的情况就不同了，一些人慢慢地意识到数学之路毕竟不是唯一的，完全没有必要如此保守。果尔丹还特意写信给希尔伯特，向他表示敬意，称赞他的证明“完全正确”，并说如果不是这样，果尔丹问题也许根本就不可能

5、解决。有意思的是，就在果尔丹承认存在性证明的时候，希尔伯特却一头扎进了构造性证明的思考之中。完全没有必要如此保守。果尔丹还特意写信给希尔伯特，向他表示敬意，称赞他的证明“完全正确”，并说如果不是这样，果尔丹问题也许根本就不可能解决。有意思的是，就在果尔丹承认存在性证明的时候，希尔伯特却一头扎进了构造性证明的思考之中。1893年，在美国芝加哥大学校庆之际，举行了“国际数学大会”。希尔伯特又向大会提交了一篇关于不变量理论的总结性论文。这个带有宣判性的总结，表明不变量理论由于希尔伯特的工作已经基本完成，作为一个单独的理论已经枯萎。尽管这个结论是冷色调的，但仍然鼓舞人心。文章同时表明

6、希尔伯特已经开始向新的领域挺进。代数数域论是希尔伯特挺进的第二个数学领地。这个领域是40多年前由狄里克雷对单元群的分析以及库曼、戴德金和克罗内克引入理想、除子等概念而打下基础的。希尔伯特在与胡尔维茨一起散步时，曾经讨论过代数数域问题，当时他们都感到库曼、戴德金等人的工作虽富有创造性，但论证方法太烦。所以在慕尼黑数学会年会之前，他先对由戴德金和克罗内克用不同方法证明过的代数数论基本定理——每一个理想可以唯一分解为素理想，给出了崭新的证明。文章一出笼，便受到高度评价。在慕尼黑会议上，数学家们一致认为，虽然希尔伯特在代数数域论方面还是新手，但他的能力表明，不久他将成为这个领域的开路

7、先锋。会议公推希尔伯特和闵可夫斯基在两年内提交一篇关于数论的报告，透彻而又简明、清晰地介绍近半个世纪来数论的发展状况。1895年，希尔伯特带着尚未完成的数论报告赴哥廷根任教。为了做好这项工作，一年多来希尔伯特详细地阅读了自高斯以来所有的数论著作。对一切已有的定理证明，都仔细地进行思考以分辨优劣，给予必要的修补、扩充和整理。1896年初，希尔伯特所承担的那部分——代数数论已接近尾声，但闵可夫斯基的那部分——有理数论还差得很远，经两人商量，决定希尔伯特的那部分先发表。两年的功夫没有白费。希尔伯特又向数学界献