分式运算典型例题精解

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1、实用标准分式性质及运算【基础精讲】一、分式的概念1、正确理解分式的概念：【例1】有理式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）中，属于整式的有：；属于分式的有：。.2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零.(1)例如，当x为时，分式有意义．错解：时原分式有意义．(2)不要随意用“或”与“且”。例如当x____时，分式有意义？错解：由分母，得3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制．当时，分式有意义．当时，分式无意义．当时，分式值为0．二、分式的基本性质：1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.(1)分式的基本性质是分

2、式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它．理解分式的基本性质时，必须注意：①分式的基本性质中的A、B、M表示的都是整式．②在分式的基本性质中，M≠0．③分子、分母必须“同时”乘以M(M≠0)，不要只乘分子（或分母）．④性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的．文档实用标准(2)注意：①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．②分式的基本性质是一

3、切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式【例3】下列变形正确的是（）．A．;B．C．D．【例4】如果把分式中的都扩大3倍,那么分式的值一定()．A.扩大3倍B.扩大9倍C.扩大6倍D.不变2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.【例5】（1）化简的结果为（）A．B．C．D．（2）化简的结果（）A．B．C．D．（3）化简的结果是（）A．B．C．D．3、通分通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母

4、.最简公分母由下面的方法确定：（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积;三、分式的运算1、分式运算时注意：（1）注意运算顺序．例如，计算，应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行．错解：原式（2）通分时不能丢掉分母．例如，计算，出现了这样的解题错误：原式=．分式通分是等值变形，不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆；文档实用标准（3）忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略．（4）最后的运算结果应化为最简分式．2、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法

5、则.(1)先把除法变为乘法；(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；(4)最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．3、加减的加减1)同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。2)异分母分式加减法则：运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为分母相同；③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简．4、分式的混合运算注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的

6、分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.【例6】计算：（1）；（2）；（3）（4）已知，则代数式的值【分类解析】一、分式运算的几种技巧1、先约分后通分技巧例1计算+分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算解：原式=+=+=2、分离整数技巧例2计算--分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。文档实用标准解：原式=--=1+-1--=--===-3、裂项相消技巧例3计算++分析：此类题可利用=（-）裂项相消计算。解：原式=（-）+（-）+（-）=-=4、分组计算技巧例

7、4计算+--分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a2-4，第二项、第三项分母乘积为a2-1，采取分组计算简捷。解：原式=（-）+（-）=+=5、变形技巧例5已知x2-3x+1=0，求x2+的值。分析：将已知两边同除以x（x≠0）可变出x+，然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+的值。解：由x2-3x+1=0，两边同除以x（x≠0），得x-3+=0，即x+=3文档实用标准所以x2+=（x+）2-2=32-2=7二、分式求值中的整体思想例1若分式的值为，则的值为（）A、1B、-1C、-D、解：由已知=得2y2+3y+7=82y2+3y=1，4y2+6

8、y=2所以==1，故选A。例2已知+=4，则=。分析：由已知可得到a+b与ab的