高考数学轮复习难点突破教师教学案：难点不等式恒成立问题

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1、纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查，主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题，要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从实际教学来看，这部分知识能力要求高、难度大，是学生掌握最为薄弱，看到就头疼的题目．分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨．1不等式恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载

2、体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分．矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法；⑤消元转化法．下面我就以近几年高考试题为例加以剖析．聞創沟燴鐺險爱氇谴净。1．1函数性质法图1（1）一、一次函数——单调性法二、二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解有以下几种基本类型：类型1：设（1）上恒成立；（2）上恒成立

3、．类型2：设（1）当时，上恒成立上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立例2（2012蚌埠二中考试）已知不等式对任意实数恒成立．则取值范围是（　　）A．B．C．D．思路分析：由不等式对任意实数恒成立，知或由此能求出的取值范围．例3(08年江西卷理12)．已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（）残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。A．B．C．D．思路分析：与的函数类型，直接受参数的影响，∴首先要对参数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题．酽锕极額閉镇桧猪訣锥。三、其它函数：恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成

4、立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）．彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。例4（2013年高考重庆卷文）设,不等式对恒成立,则的取值范围为____________.例5（2013年高考浙江卷文）设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则等于______________.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。例6（2013年上海高考数学试题文）设常数,若对一切正实数成立,则的取值范围为________.【答案】例7（07年重庆卷理20)已知函数在处取得极值，其中，为常数．（1）试确定，的值；（2）讨论函数的单调区间；（

5、3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．思路分析：恒成立，即，要解决此题关键是求，例8（08天津文21）．设函数，其中．（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．（节选）思路分析：，即，，，要解决此题关键是求．例9（09年全国卷II文21）设函数，其中常数．（II）若当时，恒成立，求的取值范围．（节选）思路分析：利用导数求函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围．1．2分离参数法——极端化原则若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式（

6、，为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤：厦礴恳蹒骈時盡继價骚。（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式(或)，得的取值范围．适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．例10（2013新课标卷Ⅰ理11）已知函数，若

7、

8、≥，则的取值范围是...[-2,1].[-2,0]例11（07年山东卷文15)当时，不等式恒成立，则的取值范围是．（1）当满足什么条件时，取得极值?（2）已知，且在区间上单调递增，试用表示出的取值范围．思路分析：此题虽有三个变量，，，而的范围已知，最终要用表示出

9、的取值范围，∴可以将看成一个已知数，对和进行离参．茕桢广鳓鯡选块网羈泪。例13（2010天津高考理16）．设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是．1．3主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。例14（07辽宁卷文科22)已知函数

10、，，且对任意的实数均有，．(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)若对任意的，恒有，求的取值范围．例15(08安徽文科2