高中数学北京师范大学版选修教案：拓展资料：导数学习需注意的几个关系

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1、数学备课大师www.eywedu.net【全免费】www.ks5u.com导数学习需注意的几个关系导数是研究函数的有利工具，是高考的重要内容。在导数的学习中理解好下几个关系，将对导数概念的和本质的掌握有极其重要的作用。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。1、“过某点”和“在某点处“的关系例1过点（--1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（）A2x+y+2=0B3x--y+3=0Cx+y+1=0Dx--y+1=0错解：=2x+1所以切线的斜率K=故切线方程为即x+y+1=0点评“在某点处”的切线表明此点是切点

2、，而“过某点”的切线不一定是切点。这里就忽视了二者的区别。正解：设切点坐标是，则切线斜率为k=2x0+1因为切线过点（--1，0）所以即所以所以切点坐标为（0，1）或(--2,3)故切线方程为x—y+1=0或3x+y—12=0所以应选D2、的关系例2已知f(x)=,求。错解：因为f(x)=所以f(2)=故=0点评：是导函数，是函数的一个函数值，所以要求应先求正解：因为f(x)=，所以故=3、（）与函数单调性的关系例3（05年湖北）已知向量a=(，x+1)，b=(1-x，t)若函数=a·bhttp://www.xi

3、exingcun.com/http://www.eywedu.net/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围聞創沟燴鐺險爱氇谴净。错解：依定义，若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设>0∵的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当，且时，在（-1，1）上满足>0，即在（-1，1）上是增函数故t的取值范围是t>5点评：若>0，则在R上是增函数反之不成立。如在R上单调递增，但≥0所以>0是为增函数的充分不必要条件。若为增函数，则≥0，反之不成立。因为≥0，

4、即>0或=0。当函数在某区间内恒有=0时，为常数，函数不具有单调性。所以，≥0是为增函数的必要不充分条件。一般地，使=0的离散的点不影响函数在该区上的单调性。如=x+sinx.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。正解：依定义，若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设≥0∵的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当，且时，在（-1，1）上满足>0，即在（-1，1）上是增函数故t的取值范围是t≥54、与极值点的关系例4已知函数f(x)=x(x—c)2在x=2处有极大值。求c的值。http://www.xiexingcun.co

5、m/http://www.eywedu.net/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】错解：由题意所以=因为函数f(x)=x(x—c)2在x=2处有极大值，所以所以c=2或c=6故c的值为2或6。点评：是为极值的必要但不充分条件。判断是不是极值点需要检查根两侧的符号。如果左正右负，那么是函数的一个极大值；如果左负右正，那么是函数的一个极小值；如果符号相同，那么不是函数的极值。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。正解：由题意所以==当即或时函数f(x)=x(x—c)2可能有极值。当x=2时函数f(x)=x(x—c)2

6、有极大值，所以c>0.故所以时>0，当时<0,当时>0。所以当时，函数f(x)=x(x—c)2有极大值，所以即c=6.5、极值与最值的关系例5求函数f(x)=sin2x—x在上的最大值和最小值。错解：=，令，得=0。解得或当时，<0,所以f(x)在是减函数；当时＞0，所以f(x)是增函数；当时＜0，所以f(x)是减函数。所以当时，f(x)取最大值；当时，f(x)取最小值。http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/数学备课大师www.eywedu.net【全免费

7、】点评：极值是比较极值点附近函数值得出的，并不意味着它在函数的某个区间上最大（小）。因此，同一函数在某一点的极大（小）值，可以比另一点的极小（大）值小（大）；而最值是指闭区间上所有函数值的比较，所以极大（小）值不一定是最大（小）值，最值也不一定是极值。对闭区间上的连续函数，如果在相应的开区间内可导求上最值可简化过程。即直接将极值点与端点的函数值比较，就可判定最大（或最小）的函数值就是最大（或最小）值。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。正解：=，令，得=0。解得或所以，又，所以函数f(x)在上的最大值和最小值分别为。http:

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