部分初代附标准答案

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1、习题一⒈证明§1.1定理1自然数的相等关系具有反身性、对称性和传递性。⑴对任何，有⑵对任何，若则⑶对任何，若则证明：设都是有限集，⑴因⑵因所以，若则⑶若，则因此，若则⒉证明§1.1定理2⑴对任何，当且仅当时⑵对任何，若则⑶对任何，若中有且只有一个成立。证明：设都是有限集，⑴当时，由定义2的⑵知再由定义2的⑶知；反之，当时，由定义2的⑶知再由定义2的⑵知.⑵若则存在集合，使得，因此，有集合且有再由因此，⑶首先证明中至多有一个成立。①若同时成立。当时，由定义2的⑵知，若也同时成立，则有，由传递性知与是有限集矛盾。②若同时成

2、立。当时，由定义2的⑵知，若也同时成立，由定义2的⑶知，也就是，这就有，又因此，，与是有限集矛盾③若同时成立。当时，由定义2的⑶知，若也同时成立，则有，由传递性知与是有限集矛盾。再证中总有一个成立。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。由定义2集合之间的关系，，，总有一个成立，因此，中总有一个成立。⒊证明§1.1定理3自然数的加法满足交换律与结合律。证明：设是有限集，且由可得由可得⒋证明§1.1定理7设，且⑴（加法单调性）第59页共59页⑵（乘法单调性）证明：设是不相交的有限集，由，存在集合使得，，这就有，因此，。当时设…………………

3、……………………………因此，即就是再由交换律⒌求适合的一切集合，以及它们的基数的和。解：满足上述条件的集合：，其基数分别是：2，3，3，3，4，4，4，5这些集合⒍设6.求证证明：因所以，又则则因此，⒎把个互不相等的自然数排成一个级方阵，取每行数的最大数，得个数，设其中最小的一个是；再取每列中的最小数，又得个数，设其中最大的一个是，试比较和的大小。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。证明：将个互不相等的自然数排成一个级方阵如下第59页共59页不妨设，由题设，由传递性，即⒏用自然数的顺序理论证明：⑴证明：⑵证明：⒐证明§1.2定理3自

4、然数加法满足交换律。即则证明：任意，设使交换律成立的自然数组成的集合为①时，取这时，假设，则即对任意当交换律成立，因此，②假设，即对任意，，于是即，由归纳公理⒑证明§1.2定理4自然数的乘法唯一存在。证明：证明：①唯一性任意取定，假设有两个乘法和，对任何，分别有，设使得成立的所有.组成的集合为且（只要证明即可）由定义3中的⒈，得所以，即假设，即.由加法单调性再由定义3中⒉.于是.由皮亚诺公理⒌即对任意的，乘法和是相同的.②存在性：设使乘法存在的集合为且（只要证）当时，对任意，规定：.即有因满足乘法定义，所以假定即对任意

5、的，有，且有第59页共59页这时对任意，只要规定：（规定对应法则）因此有（1）（第一步是由规定）（2）（第一步是由规定、第二步是假设；又[第一步加法结合律；第二步加法交换律；第三步加法定义⑴；第四步加法结合律；第五步加法结合律；第六步加法交换律；第七步加法定义⑴；第八步是由规定对应法则]残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。所以（因满足上面的（1）、（2）即乘法定义），由皮亚诺公理⒌因此，对任意，乘法存在.⒒证明§1.2定理7自然数的乘法满足结合律。证明：任意设使成立的一切自然数组成的集合为由自然数乘法定义，得即假设，则成立。于是，再

6、由乘法定义，得即，由归纳公理⒓已知，求证⑴；证明：⑵；证明：⑶证明：⒔设试把的元素按照由小到大的次序写出来。解：由得，由得，又由传递性，得⒕证明§1.2定理9若，则第59页共59页⑴当时，⑵当时，⑶当时，证明：这是分段式命题，只要证明其逆命题为真即可，用反证法⑴当时，。若不然。当时，存在，使因此，即矛盾。当时，存在，使因此，即矛盾。由全序性知成立。⑵当时，。若不然当时，存在，使因此，即矛盾。当时，即矛盾。由全序性知成立由（1）、（2）及全序性知（3）成立。⒖证明§1.2定理10若，则⑴当且仅当时，⑵当且仅当时，⑶当且仅

7、当时，证明：这是分段式命题，用反证法证明下面命题成立即可。⑴当时，⑵当时，⑶当时，（1）若则存在，使，代入中，得，由此得到即，矛盾。若则存在，使代入中，得，由此得即，矛盾。由此，（2）若则存在，使，代入中，得，由此得到，矛盾。若代入中，得矛盾由此再由（1）、（2）及全序性知（3）成立。⒗已知，求证⑴证明：（加法单调性）（加法单调性）（加法交换律）（传递性）⑵证明：（乘法单调性）第59页共59页（乘法单调性）（乘法交换律）（传递性）⒘证明§1.2定理12对任意，必有使证明：取，因，所以于是，即⒙设求的最小值。⒚证明§1.

8、2定理14对任何，当且仅当时，，如果存在，那么它是唯一的。证明：当时，由知；若，由自然数的大小定义，则存在，使得再由自然数的减法定义知，即下证唯一性：假设有且不妨设，因此存在，使于是，因此，矛盾。同理不可能，唯一性得证。⒛证明§1.2定理15设，则的必要条件是，如果商存在，那么它是唯一的。证明：因时，对任何当时，当时，，这时即时，