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1、.页眉.解析几何第四版课后习题答案,解析几何第四版课后习题答案第三章 §3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：(1)通过点M1(3,1,?1)和点M2(1,?1,0)且平行于矢量{?1,0,2}的平面(2)通过点M1(1,?5,1)和M2(3,2,?2)且垂直于xoy坐标面的平面;(3)已知四点A(5,1,3)，B(1,6,2)，C(5,0,4)D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与?ABC平面垂直的平面。解：(1)?M1M 2 ?{?2,?2,1}，又矢
2、量{?1,0,2}平行于所求平面，故所求的平面方程为： ?x?3?2u?v? 一般方程为：4x?3y?2z?7?0(2)由于平面垂直于xoy面，?y?1?2u ?z??1?u?2v? 所以它平行于z轴，即{0,0,1}与所求的平面平行，又M1M 2 ?{2,7,?3}，平行于所求的平 ?x?1?2u? 面，所以要求的平面的参数方程为：?y??5?7u一般方程为：7(x?1)?2(y?5)?0， ?z?1?3u?v? 即7x?2y?17?0。(3)(ⅰ)设平面?通过直线AB，且平行于直线CD：?x?5?4u
3、?v ? 一般方程为：AB?{?4,5,?1}，CD?{?1,0,2}从而?的参数方程为：?y?1?5u页脚..页眉. ?z?3?u?2v? (ⅱ)设平面??通过直线AB，且垂直于?ABC所在的平面?10x?9y?5z?74?0。 AB?{?4,5,?1}，AB?AC?{?4,5,?1}?{0,?1,1}?{4,4,4}?4{1,1,1}均与??平行， ?x?5?4u?v? 所以??的参数式方程为：?y?1?5u?v一般方程为：2x?y?3z?2?0. ?z?3?u?v? 2.化一般方程为截距式与参数式：?
4、:x?2y?z?4?0.解：?与三个坐标轴的交点为：所以，(?4,0,0),(0?2,0),(0,0,4)， x? y?2 ?z4?1. ?4 又与所给平面方程平行的矢量为：{4,?2,0},{4,0,4}，?所求平面的参数式方程为： ?x??4?2u?v? ?y??u ?z?v? 3.证明矢量v?{X,Y,Z}平行与平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为 AX?BY?CZ?0.证明：不妨设A?0，则平面 DBC?x???u?v?AAA? 故其方位矢量为：Ax?By?Cz?D?0的参数式方程为：?y
5、?u ?z?v??{? BA,1,0},{?页脚..页眉. CA ,0,1}，从而v平行于平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为： X BCB v，{?,1,0},{?,0,1}共面?? AAA C?A Y10 Z 0?0?1 AX?BY?CZ?0. 4.已知连接两点A(3,10,?5),B(0,12,z)的线段平行于平面7x?4y?z?1?0，求B点的z坐标.解：?AB?{?3,2,5?z}而AB平行于7x?4y?z?1?0由题3知：(?3)?7?2?4?(z?5)?0从而z?18. 5.求
6、下列平面的一般方程.⑴通过点?1?2,?1,1?和?2?3,?2,1?且分别平行于三坐标轴的三个平面;⑵过点??3,2,?4?且在 x轴和y轴上截距分别为?2和?3的 平面;⑶与平面5x?y?2z?3?0垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面;⑷已知两点?1?3,?1,2?,?2?4,?2,?1?,求通过?1且垂直于?1,?2的平面;⑸原点?在所求平面上的正射影为??2,9,?6?;⑹求过点?1?3,?5,1?和?2?4,1,2?且垂直于平面 x?8y?3z?1?0的平面.解:平行于页脚..页眉. x轴的平面方程为 x
7、?211 y?1?10 z?100 x?2 ? y?3 ?zc ?1,把点??3,2,?4? ?0.即z?1?0.同理可知平行于y轴,z轴的平面的方程分别为 z?1?0,x?y?1?0.⑵设该平面的截距式方程为 代入得c?? 2419 故一般方程为12x?8y?19z?24?0.⑶若所求平面经过 x 轴，则?0,0,0?为平面内一个点,?5,1,?2?和?1,0,0?为所求平面的方位矢量,∴点法式方程x?0 y?010 z?0 ?2?0∴一般方程为2y?z?0.同理经过y轴,z轴的平面的一般
8、0 ? 为51 方程分别为2x?5z?0,x?5y?0.⑷?1?2??1,?1,?3?.?1?2垂直于平面?,∴页脚..页眉.该平面的法向量n??1,?1,?3?,平面?通过点?1?3,?1,2?,因此平面?的点位式方程为?x?3???y?1??3?z?2??0.化简得x?y?3z?
