解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章

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1、第三章平面与空间直线§3.1平面的方程1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：（1）通过点和点且平行于矢量的平面（2）通过点和且垂直于坐标面的平面；（3）已知四点，，。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与平面垂直的平面。解：（1），又矢量平行于所求平面，故所求的平面方程为：一般方程为：（2）由于平面垂直于面，所以它平行于轴，即与所求的平面平行，又，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：一般方程为：，即。（3）（ⅰ）设平面通过直线AB，且平行于直线CD：，从而的参数方程为：一般方程为：。（ⅱ）设平面通过直线AB，且垂直于

2、所在的平面，47均与平行，所以的参数式方程为：一般方程为：.2.化一般方程为截距式与参数式：.解：与三个坐标轴的交点为：，所以，它的截距式方程为：.又与所给平面方程平行的矢量为：，所求平面的参数式方程为：3.证明矢量平行与平面的充要条件为：.证明：不妨设，则平面的参数式方程为：故其方位矢量为：，从而平行于平面的充要条件为：，共面47.4.已知连接两点的线段平行于平面，求点的坐标.解：而平行于由题3知：从而.5.求下列平面的一般方程.⑴通过点和且分别平行于三坐标轴的三个平面;⑵过点且在轴和轴上截距分别为和的平面;⑶与平面垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面

3、;⑷已知两点,求通过且垂直于的平面;⑸原点在所求平面上的正射影为;⑹求过点和且垂直于平面的平面.解:平行于轴的平面方程为.即.同理可知平行于轴,轴的平面的方程分别为.⑵设该平面的截距式方程为,把点代入得故一般方程为.⑶若所求平面经过轴，则为平面内一个点,和为所求平面的方位矢量,47∴点法式方程为∴一般方程为.同理经过轴,轴的平面的一般方程分别为.⑷垂直于平面,∴该平面的法向量,平面通过点,因此平面的点位式方程为.化简得.(5)∴则该平面的法式方程为:既（6）平面的法向量为，，点从写出平面的点位式方程为，则，则一般方程即：6．将下列平面的一般方程化为法式

4、方程。解：47将已知的一般方程乘上得法式方程将已知的一般方程乘上得法式方程将已知的一般方程乘上得法式方程即或将已知的一般方程乘上或得法式方程为或7．求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。解：化为法式方程为原点指向平面的单位法矢量为它的方向余弦为原点到平面的距离为化为法式方程为-原点指向平面的单位法矢量为它的方向余弦为原点到平面的距离第20页8．已知三角形顶点求平行于所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。解：设点则写出平面的点位式方程47设一般方程则相距为2个单位。则当时当时所求平面为和9．求与原点距离为6个单位，且在

5、三坐标轴与上的截距之比为的平面。解：设设平面的截距方程为即又原点到此平面的距离所求方程为10．平面分别与三个坐标轴交于点求的面积。解,,,.;.∴=11．设从坐标原点到平面的距离为。求证证明：由题知：从而有47§3.2平面与点的相关位置1.计算下列点和平面间的离差和距离：（1），；（2），.解：将的方程法式化，得：，故离差为：，到的距离（2）类似（1），可求得，到的距离2.求下列各点的坐标：（1）在轴上且到平面的距离等于4个单位的点；（2）在轴上且到点与到平面距离相等的点；（3）在x轴上且到平面和距离相等的点。解：（1）设要求的点为则由题意或7.即所求

6、的点为（0，-5，0）及（0，7，0）。（2）设所求的点为则由题意知：由此，或-82/13。47故，要求的点为及。（3）设所求的点为，由题意知：由此解得：或11/43。所求点即（2，0，0）及（11/43，0，0）。3.已知四面体的四个顶点为，计算从顶点向底面ABC所引的高。解：地面ABC的方程为：所以，高。4.求中心在且与平面相切的球面方程。解：球面的半径为C到平面：的距离，它为：，所以，要求的球面的方程为：.即：.5．求通过轴其与点相距8个单位的平面方程。解：设通过轴的平面为它与点相距8个单位，从而因此从而得或于是有或所求平面为或6.求与下列各对平

7、面距离相等的点的轨迹.47⑴;⑵.解:⑴令化简整理可得:与.⑵对应项系数相同,可求,从而直接写出所求的方程:.9判别点M（2-11）和N（12-3）在由下列相交平面所构成的同一个二面角内，还是在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？（1）与（2）与解：（1）将M（2-11），N（12-3）代入，得：则M，N在的异侧再代入，得：MN在的同侧MN在相邻二面角内（2）将M（2-11）N（12-3）代入，得：则MN在的异侧。再代入，得：则MN在的异侧47MN在对顶的二面角内10试求由平面：与：所成的二面角的角平分方程，在此二面角内有点（1，2，-3）解：设p（x

8、yz）为二面角的角平分面上的点，点p到的距离相等化简得把点p代入到上，在（1）上取点（00）代