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时间:2019-03-11
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1、第二章第四节微分中值定理基本内容1.极值:在有定义,若存在和的一个邻域,使对任意,有或,则称是在中的一个极大值点(或极小值点),称为相应的极大值(或极小值)。极大值点或极小值统称为极值点,极大值或极小值统称为极值。常值函数在任意点处既取到极大值也取到极小值。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。2.费马定理:在有定义,若在处取得极值,且在该处可导,则必有。3.罗尔定理:函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且,则至少存在一点,使得。4.拉格朗日定理:设函数在闭区间上连续,在开区间内可导,则至少存在一点,使得,或。函数在内
2、可导,且,则在上恒为常数。,在内可导,且,则与在内至多相差一个常数,即。5.柯西定理:函数和都在闭区间上连续,在开区间内可导,且对任意的有,则至少存在一点,使得。6.洛必达法则习题选解1.下列函数在给定的区间上是否满足罗尔定理中的条件?如果满足,求出定理中的;如果不满足,是否一定不存在?聞創沟燴鐺險爱氇谴净。9/9(1)函数在上连续,在上可导,,。所以,满足罗尔定理中的条件。(2),,函数在时断开,不满足罗尔定理中的条件。当时,时,2.证明对于在上用拉格朗日定理,则。证明:,,。3.为实数,证明:方程的
3、根不超过三个。证明:设方程的根至少有四个。令。于是有,使得,使得,使得,,9/9,所以,方程的根不超过三个。4.在闭区间上连续,在开区间内可导,,,,证明:存在唯一的,使得。证明:假设。令函数单调递增;,存在唯一一点,使得。5.在闭区间上有三阶导数,,。证明有,使得。解:有,使得。有,使得。有,使得。6.在上可导,单调递减,,证明若,则有。证明:当时,结论显然成立。当时,有当时,有,7.在上可导,单调递增,。证明函数在单调递增。9/9证明:单调递增,当时,。令单调递增,所以,当时,有在单调递增。8.证明
4、下列恒等式和不等式(1)解:为常数。,所以,(2)解:为常数。,所以,9/9(3)解:令,在上用拉格朗日定理,得到(4)解:令,当是,有单调递增。(5)解:令,,在上用拉格朗日定理,得到,使得9.,在闭区间上连续,在开区间内可导,证明存在,使得证明:令,则在闭区间上连续,在开区间内可导。利用柯西定理,得到存在,使得10.求极限(1)解:9/9(2)解:(3)解:(4)解:(5)解:(6)解:9/9(7)解:(8)解:(9)解:(10)解:(11)解:9/9(12)解:令(13)解:令11.确定常数,,使
5、极限存在并求出极限。解:要使极限存在,必有且9/9,9/9
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