sears_ch28-73 .pdf

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1、《西尔斯物理学》（第10版）ChallengeProblem28-73求解思路<2012-02-12>Wheredoesthecycloidcomefrom?这是一个ChallengeProblem，在《西尔斯物理学》（第10版）第28章的最后。题目大意是：匀强磁场??��⃗和匀强电场??��⃗方向正交，其中有一带电粒子，荷质比为??/??，求证由静止释放该带电粒子后其运动轨迹为摆线。证：在直角坐标系xyz中，设??��⃗沿y轴正方向，??��⃗沿z轴正方向，初始时刻带电粒子在坐标原点O处。分析易知由静止释放后带电粒子在xOy平面内运动。带电粒子速

2、度??��⃗方向同x轴夹角为θ，则速度??��⃗分量????=??????????,????=??????????。带电粒子因在磁场中运动受到的Lorentz力??�⃗大小为??=??????，方向跟速度??��⃗垂直。带电粒子在??�⃗作用下的回旋角频率ω恒为??=????/??。由牛顿第二定律可得方程组（1）。1《西尔斯物理学》（第10版）ChallengeProblem28-73求解思路<2012-02-12>????????=????????????????（1）�????????=????−????????????????只要注意到??

3、????????=????????和??????????=????????，就能将方程组（1）化成关于x和y的二阶常微分方程组（2）。??????????−??=??①�??????????（2）??????????????+??=②????????????先求x的解，①式两边对t求导，可得??????????????=，??????????????带入②式，可得到关于x的三阶常微分方程③，??????????+????????=??③????????????非齐次方程③的通解为??=??????+????????????????+???????

4、?????????,∗??特解为??=??，故方程③的解为??????=??????+????????????????+????????????????+??，??带电粒子的初始位移和初始速度均为零，初始加速度在x轴??上的分量亦为零，由此可确定常数??????=??????=??，??????=，????2《西尔斯物理学》（第10版）ChallengeProblem28-73求解思路<2012-02-12>于是得到x的时间参数方程④。????=（????−??????????）④????接下来求y的解，②式两边对t求导，可得???????????

5、???=−，??????????????带入①式，可得关于y的三阶常微分方程⑤。??????+????????=??⑤??????????齐次方程⑤的通解为??=??????+????????????????+????????????????,带电粒子的初始位移和初始速度均为零，初始加速度在y轴????????上的分量为，由此可确定常数??????=，??????=−，????????????????=??，于是得到y的时间参数方程⑥。????=（??−??????????）⑥????总之，联合④⑥得到带电粒子运动轨迹的时间参数方程（3），其类型属

6、于摆线。????=（????−??????????）�????（3）????=（??−??????????）????证毕。3