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时间:2019-03-11
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1、《西尔斯物理学》(第10版)ChallengeProblem28-73求解思路<2012-02-12>Wheredoesthecycloidcomefrom?这是一个ChallengeProblem,在《西尔斯物理学》(第10版)第28章的最后。题目大意是:匀强磁场??��⃗和匀强电场??��⃗方向正交,其中有一带电粒子,荷质比为??/??,求证由静止释放该带电粒子后其运动轨迹为摆线。证:在直角坐标系xyz中,设??��⃗沿y轴正方向,??��⃗沿z轴正方向,初始时刻带电粒子在坐标原点O处。分析易知由静止释放后带电粒子在xOy平面内运动。带电粒子速
2、度??��⃗方向同x轴夹角为θ,则速度??��⃗分量????=??????????,????=??????????。带电粒子因在磁场中运动受到的Lorentz力??�⃗大小为??=??????,方向跟速度??��⃗垂直。带电粒子在??�⃗作用下的回旋角频率ω恒为??=????/??。由牛顿第二定律可得方程组(1)。1《西尔斯物理学》(第10版)ChallengeProblem28-73求解思路<2012-02-12>????????=???????????????? (1)�????????=????−????????????????只要注意到??
3、????????=????????和??????????=????????,就能将方程组(1)化成关于x和y的二阶常微分方程组(2)。??????????−??=??①�?????????? (2)??????????????+??=②????????????先求x的解,①式两边对t求导,可得??????????????=,??????????????带入②式,可得到关于x的三阶常微分方程③,??????????+????????=??③????????????非齐次方程③的通解为??=??????+????????????????+???????
4、?????????,∗??特解为??=??,故方程③的解为??????=??????+????????????????+????????????????+??,??带电粒子的初始位移和初始速度均为零,初始加速度在x轴??上的分量亦为零,由此可确定常数??????=??????=??,??????=,????2《西尔斯物理学》(第10版)ChallengeProblem28-73求解思路<2012-02-12>于是得到x的时间参数方程④。????=(????−??????????)④????接下来求y的解,②式两边对t求导,可得???????????
5、???=−,??????????????带入①式,可得关于y的三阶常微分方程⑤。??????+????????=??⑤??????????齐次方程⑤的通解为??=??????+????????????????+????????????????,带电粒子的初始位移和初始速度均为零,初始加速度在y轴????????上的分量为,由此可确定常数??????=,??????=−,????????????????=??,于是得到y的时间参数方程⑥。????=(??−??????????)⑥????总之,联合④⑥得到带电粒子运动轨迹的时间参数方程(3),其类型属
6、于摆线。????=(????−??????????)�???? (3)????=(??−??????????)????证毕。3
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