考研数学三模拟题附标准答案解析

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1、参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数有二阶连续导数，且，，则(A)在点处取极大值(B)在点处取极小值(C)点是曲线的拐点(D)点不是的极值点，点也不是的拐点[]正确答案：B．解析：由，，得，而由连续知连续，所以.于是，所以是的驻点.又由，，得，即，所以在点处有，，故点是的极小值.应选（B).（2）设函数在全平面上都有，.则下列条件中能保证的是(A)(B)(C)(D)正确答案：C．解析：由，当固定时，对单调下降，故对时，有；又由，，当固

2、定时，对单调上升，故对时，有；因此，当时，有.应选(C).[](3)累次积分可以写成(A)(B)(C)(D)[]正确答案：D．解析：由题设可知积分区域在极坐标系下是，的图形如图所示.它在直角坐标系下是或，因此，这个二重积分在直角坐标下化为累次积分应为或.由此可见（D）是正确的，应选（D）.（4）设，级数(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)敛散性与有关[]正确答案：B．解析：当时，由积分中值定理得，，所以，，而，发散，所以原级数非绝对收敛.又，而，即单调减少.由莱布尼茨判别法知原级数收敛，故级数是条件收敛的，应选（B）.（5）设，是阶可逆

3、矩阵，满足.则①；②；③只有零解；④不可逆.中正确的项数是（A）1（B）2（C）3（D）4[]正确答案：C．解析：因，满足.两边取行列式，显然有，（A）成立.又，移项，提公因子得，，.故，都是可逆阵，且互为逆矩阵，从而知方程组只有零解，正确.不可逆是错误的，又因，故，从而有，，得，从而有成立.故（1）、（2）、（3）是正确的，应选（C）.（6）已知线性方程组有解，其中，，，则等于（A）1（B）-1（C）2（D）-2[]正确答案：D．解析：将的增广矩阵作初等行变换，，有解，得，故应选（D）.（7）设、、为事件，，如果，则（A）（B）（C）（D）[

4、]正确答案：D．解析：已知意指：“在发生的条件下，与独立”.所以“在发生的条件下，发生与否不影响发生的概率”，即，选择（D）.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。我们也可以通过计算来确定选项.事实上：，选择（D）.选项（A）、（C）表示：在发生下，与独立；选项（B）表示：在发生下，与独立.注：条件，除了保证各条件概率有意义外，还保证各项概率均不为零.（8）设是总体的简单随机样本，记，，，则的值为（A）0（B）1（C）2（D）4[]正确答案：C．解析：，，且，相互独立.所以.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.(9)的实根个数

5、是_____.正确答案：1.解析：设，则，，由介值定理知，存在，使.又，而，，故，严格单调增加，只有唯一的根.（10）设存在一阶偏导数，且，，.又，则_____.正确答案：7.解析：由复合函数求导法则，逐层展开有，所以.（11）设是由确定的隐函数，则.正确答案：.解析：在方程中令可得，将方程两边对求导数，得将，代入，有，即（12）幂级数的收敛域为____.正确答案：解析：由公式，所以，收敛区间，即.再考虑端点处.在处，原级数成为，收敛；在处.原级数成为，发散.所以应填.（13）设是三阶矩阵，有特征值，，.是的伴随矩阵，是三阶单位阵，则正确答案：

6、．解析：有特征值，，，故，.从而有.（14）已知随机变量的概率分布为，当时随机变量在上服从均匀分布，即则正确答案：．解析：由题设知，.根据全概率公式得.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)设函数在点处二阶可导，且满足.求与.解析：由题设可知，，从而（16）计算二重积分,其中积分区域由轴与曲线围成.解析：引入极坐标满足，在极坐标中积分区域可表示为，于是由于,,故.（17）设生产某种产品需投入甲、乙两种原料，和分别为甲、乙两种原料的投入量（单位：吨），为产出量，且生产函数为，其中常数，，.已知甲种原

7、料每吨的价格为（单位：万元），乙种原料每吨的价格为（单位：万吨）.如果投入总价值为（万元）的这两种原料，当每种原料各投入多少吨时，才能获得最大的产出量？聞創沟燴鐺險爱氇谴净。解析：本题要求函数在条件下的最大值点.用拉格朗日系数法，构造拉格朗日函数，为求函数的驻点，令由①、②消去参数可得，即，代入③不难计算出唯一驻点，.因驻点唯一，且实际问题必存在最大产量，所以计算结果表明，当投入总价值为（万元）的甲、乙两种原料时，使产量最大的甲、乙两种原料的投入量分别是（吨）与（吨）.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。（18）设具有连续偏导数，且，求所满足的一阶微分方程，

8、并求其通解.解析：由，有，在条件，即，中令得，于是满足一阶线性微分方程.通解为，由分部积分公式，可得，所以.注：也可由，满足的偏微分方程，直接得到满足