活跃在全国高考中的三角形

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1、活跃在高考中的三角形山西任向阳我们都非常熟悉的三角形，它由三条首尾相连的线段组成，有三个顶点、三条边、三个角.三角形有着非常丰富的内涵，这些内涵分为三个层次予以展现：a。直观展现；三角形全等与相似等；b，解析展现：正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、三角形中三角函数等；c，高层展现：梅涅劳斯定理、塞瓦定理和欧拉定理等.在每年一度的奥林匹克数学竞赛中，都有一道平面几何的大题，经常涉及到三角形的相关知识和定理，在近年的高考试题中，三角形越来越活跃，到处可见三角形的影子.从不同的角度展现三角形的丰富内涵，请看下面的例子：矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。例1（2004

2、浙江）已知平面上三点A、B、C满足，，，则的值等于.解：由题意可知,A、B、C三点不共线，∴他们可构成.又，，,∴，，.∴==.评析：本题是由向量形式的三角形求值问题，而且是特殊的.一般地，对于任意，有==，或者由，得，∴==.例2（2005山西）在中，已知，给出以下四个论断：①；②；③；④.20其中正确的是()聞創沟燴鐺險爱氇谴净。A①③B②④C①④D②③残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。解：∵，∴，∴∴，∴，则。∴不一定成立;，②成立，不一定成立；，④成立.选A.评析：此题是三角函数问题，满足条件的三角形是，以为直角的的等价形式为.本题主要考查的等价转换和锐角

3、的正、余弦之和的取值范围.例3（2005山西）已知是所在平面内一点，满足=，则点是的（）酽锕极額閉镇桧猪訣锥。A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点解：由，得∴∴是的垂心，即三条高的交点.选D.例4（2003山西）已知是平面内的一个点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定过的（）彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。A外心B内心C重心D垂心20解：∵、分别为、的单位向量，向量（）就是起点为A、终点在的平分线上的向量，由，∴点P的轨迹一定通过的内心.选B.评析：例3，例4是以向量为题面，涉及三角形的内心

4、、垂心问题，类似地还有三角形的重心、外心等问题，请看例5、例6.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。例5已知P是所在平面内任意一点，且，则G是的（）厦礴恳蹒骈時盡继價骚。A．外心B内心C重心D垂心解：若是的重心，则有（D是BC的中点）=，∴.∴与重合，即G是的重心.例6（2005山西）的外接圆的圆心为，两边边上的高的交点为H，，则实数.解法一：当为时，不妨设，则是AB的中点，H是直角顶点C，∴，∴，∴.解法二：连接BO，交外接圆于D，连AD、DC.∵BD是的直径，∴.又，∴四边形是平行四边形.∴，∴，∴。变式：若是的外心，是三边中点D、E、F构成的的外心，且20，则

5、.（其实是的中点，∴；也可用特例时得）例7（2002北京）已知是的三个顶点.（I）写出的重心G、外心F、垂心H的坐标，并证明G、F、H三点共线；（II）直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹.略解：（I）∵的顶点，∴，且重心，外心，垂心.∴，.∴，故G、F、H三点共线.（II）∵，，，且，∴（），配方得，即.故（）为所求的轨迹方程.（时，为等边三角形，G、F、H三点重合；而当时，O、B、C三点共线不能构成三角形）因此顶点C的轨迹是中心在，长半轴长为，短半轴长为，且焦点在直线上的椭圆，除去四点.例8（2005山西）椭圆的焦点为，点P为其上的动点，当20为钝

6、角时，点P的横坐标的取值范围是.解：为钝角有以下几种等价形式：①向量与的夹角为钝角；②；③点P在以直径的圆内点P在圆内.由，得，设.由于为钝角，∴，即，故.又，故.（柯正摘自《试题与研究》2005/33高考数学）20