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时间:2019-03-10
《高考专题10 等差数列与等比数列(教学案)高考数学(理)考纲解读与热点 Word版含解析》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019年高考考纲解读1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点,经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点,考查分析问题、解决问题的综合能力.【重点、难点剖析】一、等差数列、等比数列的运算1.通项公式等差数列:an=a1+(n-1)d;等比数列:an=a1·qn-1.2.求和公式等差数列:Sn==na1+d;等比数列:Sn==(q≠1).3.性质若m+n=p+q,[来源:学科网ZXXK]在等差数列中am+an=ap+aq;在等比数列中am·an=ap·aq.二 等差数列、等比数列的判定与证明证明数列{an}是等差数列或等
2、比数列的证明方法[来源:学*科*网Z*X*X*K](1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法:①利用定义,证明an+1-an(n∈N*)为一常数;②利用等差中项,即证明2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N*).(2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法:①利用定义,证明(n∈N*)为一常数;②利用等比中项,即证明a=an-1an+1(n≥2,n∈N*).三、等差数列、等比数列的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题,要从两个数列的特征入手,理清它们的关系;数列与不等式、函数、方程的交汇问题,可以结合数列的单调性、最值求解.【高考题型示例】题型一、
3、等差数列、等比数列的运算例1、(1)(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5等于( )A.-12B.-10C.10D.12答案 B解析 设等差数列{an}的公差为d,由3S3=S2+S4,得3=2a1+×d+4a1+×d,将a1=2代入上式,解得d=-3,故a5=a1+(5-1)d=2+4×(-3)=-10.故选B.(2)(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.①求{an}的通项公式;[来源:学科网]②记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.【感悟提升】在进行等差(比)数列项
4、与和的运算时,若条件和结论间的联系不明显,则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解,但要注意消元法及整体计算,以减少计算量.【变式探究】(1)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1等于( )A.-2B.-1C.D.答案 B解析 S4-S2=a3+a4=3a4-3a2,即3a2+a3-2a4=0,即3a2+a2q-2a2q2=0,即2q2-q-3=0,解得q=-1(舍)或q=,当q=时,代入S2=3a2+2,得a1+a1q=3a1q+2,解得a1=-1.(2)设各项均为正数的等比数列{an}中,若S4
5、=80,S2=8,则公比q=________,a5=________.答案 3 162解析 由题意可得,S4-S2=q2S2,代入得q2=9.∵等比数列{an}的各项均为正数,∴q=3,解得a1=2,故a5=162.学-科网题型二 等差数列、等比数列的判定与证明例2、已知数列{an},{bn},其中a1=3,b1=-1,且满足an=(3an-1-bn-1),bn=-(an-1-3bn-1),n∈N*,n≥2.(1)求证:数列{an-bn}为等比数列;(2)求数列的前n项和Tn.(1)证明 an-bn=(3an-1-bn-1)-(an-1-3bn-1)=2(an-
6、1-bn-1),又a1-b1=3-(-1)=4,所以{an-bn}是首项为4,公比为2的等比数列.(2)解 由(1)知,an-bn=2n+1,①又an+bn=(3an-1-bn-1)+(an-1-3bn-1)=an-1+bn-1,又a1+b1=3+(-1)=2,所以{an+bn}为常数数列,an+bn=2,②联立①②得,an=2n+1,==-,所以Tn=++…+=-=-(n∈N*).[来源:学科网ZXXK]【感悟提升】(1)判断一个数列是等差(比)数列,也可以利用通项公式及前n项和公式,但不能作为证明方法.(2)a=an-1an+1(n≥2)是数列{an}为等比
7、数列的必要不充分条件,判断时还要看各项是否为零.【变式探究】已知{an}是各项都为正数的数列,其前n项和为Sn,且Sn为an与的等差中项.(1)求证:数列{S}为等差数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)设bn=,求{bn}的前n项和Tn.(2)解 由(1)可得S=1+n-1=n,∵数列{an}的各项都为正数,∴Sn=,∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,又a1=S1=1满足上式,∴an=-(n∈N*).(3)解 由(2)得bn===(-1)n(+),当n为奇数时,Tn=-1+(+1)-(+)+…+(+)-(+)=-,当n为偶数时,Tn=-1+(+1)
8、-(+)+…-(+)+(
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