高考专题10 等差数列与等比数列（教学案）高考数学（理）考纲解读与热点 Word版含解析

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1、2019年高考考纲解读1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．【重点、难点剖析】一、等差数列、等比数列的运算1．通项公式等差数列：an＝a1＋(n－1)d；等比数列：an＝a1·qn－1.2．求和公式等差数列：Sn＝＝na1＋d；等比数列：Sn＝＝(q≠1)．3．性质若m＋n＝p＋q，[来源:学科网ZXXK]在等差数列中am＋an＝ap＋aq；在等比数列中am·an＝ap·aq.二　等差数列、等比数列的判定与证明证明数列{an}是等差数列或等

2、比数列的证明方法[来源:学*科*网Z*X*X*K](1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．(2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法：①利用定义，证明(n∈N*)为一常数；②利用等比中项，即证明a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)．三、等差数列、等比数列的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．【高考题型示例】题型一、

3、等差数列、等比数列的运算例1、(1)(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于(　　)A．－12B．－10C．10D．12答案　B解析　设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.(2)(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.①求{an}的通项公式；[来源:学科网]②记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.【感悟提升】在进行等差(比)数列项

4、与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．【变式探究】(1)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于(　　)A．－2B．－1C.D.答案　B解析　S4－S2＝a3＋a4＝3a4－3a2，即3a2＋a3－2a4＝0，即3a2＋a2q－2a2q2＝0，即2q2－q－3＝0，解得q＝－1(舍)或q＝，当q＝时，代入S2＝3a2＋2，得a1＋a1q＝3a1q＋2，解得a1＝－1.(2)设各项均为正数的等比数列{an}中，若S4

5、＝80，S2＝8，则公比q＝________，a5＝________.答案　3　162解析　由题意可得，S4－S2＝q2S2，代入得q2＝9.∵等比数列{an}的各项均为正数，∴q＝3，解得a1＝2，故a5＝162.学-科网题型二　等差数列、等比数列的判定与证明例2、已知数列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且满足an＝(3an－1－bn－1)，bn＝－(an－1－3bn－1)，n∈N*，n≥2.(1)求证：数列{an－bn}为等比数列；(2)求数列的前n项和Tn.(1)证明　an－bn＝(3an－1－bn－1)－(an－1－3bn－1)＝2(an－

6、1－bn－1)，又a1－b1＝3－(－1)＝4，所以{an－bn}是首项为4，公比为2的等比数列．(2)解　由(1)知，an－bn＝2n＋1，①又an＋bn＝(3an－1－bn－1)＋(an－1－3bn－1)＝an－1＋bn－1，又a1＋b1＝3＋(－1)＝2，所以{an＋bn}为常数数列，an＋bn＝2，②联立①②得，an＝2n＋1，＝＝－，所以Tn＝＋＋…＋＝－＝－(n∈N*)．[来源:学科网ZXXK]【感悟提升】(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法．(2)a＝an－1an＋1(n≥2)是数列{an}为等比

7、数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．【变式探究】已知{an}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且Sn为an与的等差中项．(1)求证：数列{S}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.(2)解　由(1)可得S＝1＋n－1＝n，∵数列{an}的各项都为正数，∴Sn＝，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，又a1＝S1＝1满足上式，∴an＝－(n∈N*)．(3)解　由(2)得bn＝＝＝(－1)n(＋)，当n为奇数时，Tn＝－1＋(＋1)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)＝－，当n为偶数时，Tn＝－1＋(＋1)

8、－(＋)＋…－(＋)＋(