数理后精选作业题参考附标准答案

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1、专业数理基础一课后精选作业题参考答案以及过程第一章（我们上课已讲过）14.求下列各式的值：2），3）（2）解：（3）解：代入得出结果。注意：要求熟练掌握开方和幂的公式，19.设三点适合条件：.证明：是内接于单位圆的一个正三角形的顶点.证明：因为，所以，又因为，所以，即，同理可得而由可知，在以原点为圆心的单位圆上故是内接于单位圆上的一个等边三角形的顶点。26.(4)函数把平面上的曲线映射成平面上怎样的曲线解：由，并令得且7/7即且可为任意实数，所以该曲线被映射为平面上的直线。第二章9.证明柯西－黎曼方程的极坐标形式是：证明：令，由复合函数

2、微分法则，则有由CR条件可得，，所以(3)和(4)式分别变为将分别可得到即也可按课本14页中的做法：在极坐标中.当沿径向趋于零时,,复变函数的导数,当沿横向趋于零时,,复变函数的导数7/7因为函数在点z解析,以上两式相等,于是得到极坐标中的Cauchy-Riemann条件:.12.找出下列方程的全部解(注意：对数的运算)1）;2）;3）;4）.（1）解：，所以，即方程两边同时取对数可得故（2）解：，所以方程两边同时取对数可得，所以，，k为整数。（3），所以，（4）由得，即，故，k为整数15．利用公式直接做。第三章2.分别沿与算出积分的值

3、.解:沿，沿，7.沿指定曲线的正向计算下列各积分：1）2）3）4）7/75)6)7)8)9)10)（1）解：用柯西积分公式可得（2）解：用柯西积分公式可得(3).解：令，则在C内解析，由柯西积分公式可得，（4）解：利用单连通区域的柯西定理可得，(5)解：由单连通区域的柯西定理可知，函数在区域内解析，则该积分为0。（6）由单连通区域的柯西定理可知，函数在区域内解析，则该积分为0（7）令,则f(z)在区域内解析，又因为，所以可得(8)由柯西积分公式可得：(9).解：令，则在内解析，由高阶导数公式可得，(10)由高阶导数公式可得7/79.计算

4、下列积分：1）;2）;3）;4）(1)解：有两个奇点-1和2i,做两个小圆C1C2把它包围起来，由复连通区域柯西定理可得(2)解：有两个奇点i和-i,做两个小圆C1C2把它包围起来，由复连通区域柯西定理可得(3)见补充例题（4）因为i在C的内部，由柯西积分公式可得21.设在区域内解析，为内的任意一条正向简单闭曲线，证明：对在内但不在上的任意一点，等式：成立.解：分两种情况：1)若Z0在C的外部，则及在C内解析，由单连通区域的柯西定理有7/72)若在C的外部，在C内解析的函数，其导函数也是C内的解析函数，由柯西积分公式可得，由高阶导数公式

5、可得，所以，综上，对在内但不在上的任意一点，30由下列各已知调和函数求解析函数.1）2）(1)解：，由CR条件可得，所以，故，又所以，，故所以故，其中(2)解：由与CR条件可得7/7又因为，所以，所以故又，故所以7/7