数学一考研试题和附标准答案

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1、2007年研究生入学考试数学一试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当时，与等价的无穷小量是（A）（B）（C）（D）[]（2）曲线的渐近线的条数为（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.[]（3）如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设，则下列结论正确的是：矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。（A）(B)（C）（D）[]（4）设函数在处连续，下列命题错

2、误的是：（A）若存在，则（B）若存在，则.（C）若存在，则（D）若存在，则.[]（5）设函数在上具有二阶导数，且，令17/17，则下列结论正确的是：(A)若，则必收敛.(B)若，则必发散(C)若，则必收敛.(D)若，则必发散.[]（6）设曲线（具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点和第Ⅳ象限内的点，为上从点到点的一段弧，则下列小于零的是聞創沟燴鐺險爱氇谴净。（A）.（B）（C）.（D）.[]（7）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是(A)(B)(C).(D).[]（8）设矩阵，则与(A)合同且

3、相似（B）合同，但不相似.(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相似[]（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。（A）.（B）.（C）.（D）[]酽锕极額閉镇桧猪訣锥。（10）设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示的概率密度，则在的条件下，的条件概率密度为(A).(B).(C).(D).[]二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.17/17（11）=__________.（

4、12）设是二元可微函数，，则__________.（13）二阶常系数非齐次微分方程的通解为________.（14）设曲面，则（15）设矩阵，则的秩为.（16）在区间中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为.三、解答题：17～24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）(本题满分11分)求函数在区域上的最大值和最小值.（18）（本题满分10分）计算曲面积分，其中为曲面的上侧.（19）(本题满分11分)设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，，证明：存在

5、，使得.（20）(本题满分10分)设幂级数在内收敛，其和函数满足.（Ⅰ）证明：；（II）求的表达式.（21）(本题满分11分)17/17设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解.（22）(本题满分11分)设三阶对称矩阵的特征向量值，是的属于的一个特征向量，记，其中为3阶单位矩阵.（I）验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；（II）求矩阵.（23）(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为.（I）求；(II)求的概率密度.17/171.【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价

6、无穷小代换即可.【详解】当时，，，，故用排除法可得正确选项为（B）.事实上，，或.所以应选（B）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算.类似例题见《数学复习指南》（理工类）第一篇【例1.54】【例1.55】.2.【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.【详解】，所以是曲线的水平渐近线；，所以是曲线的垂直渐近线；，，所以是曲线的斜渐近线.故选（D）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.

7、注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在.本题要注意当时的极限不同.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（理工类）第一篇【例6.30】，【例6.31】.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。3.【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.【详解】利用定积分的几何意义，可得17/17，，.所以，故选（C）.【评注】本题属基本题型.本题利用定积分的几何意义比较简便.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例17】和【例18】，《数学复习指南》（理工类）第一

8、篇【例3.39】【例3.40】.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。4..【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系.由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数去进行判断，然后选择正确选项.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。【详解】取，则，但在不可导，故选（D）.事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得.在（C）中，存在，则，所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数