数一(参考附标准答案)

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1、2005年研究生入学考试数学一模拟试题参考答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题（1）已知为常数，可导，则＝______________.[解]（2）设，则_______________.[解]（3）已知微分方程有特解，则____________.[解]令代入方程　由通解.两边取微分，得12/12（4）设L为包含原点的反时针方向的闭曲线，则＝_______________.[解]包含于其内，∴.作则（5）设A为n阶方阵，E为n阶单位阵，且，则＝_________.[解

2、]∴（6）设为随机变量，为与的相关系数，则＝_______________.[解]12/12二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。（7）（A）1.　（B）.　　（C）.　　（D）.　　　　　　　　　　　　［　　］[解].选（A）（8）设函数由方程确定，且在处二阶可导，，则（A）在处取极小值.（B）在处取极大值.（C）在处不取极值.（D）无法判定.　　　　　　　　　　　［　　］[解]选（A

3、）（9）设条件收敛，则必有（A）收敛.（B）收敛.（C）发散.（D）一个，当时，.　　　　［　　］[解]条件收敛.由条件收敛级数的所有正项与所有负项所构成的级数发散.∴选(C)（10）设函数，则（A）.（B）.（C）.（D）.　　　　　　　　　　　　　　［　　］[解]12/12由由故选(B)（11）设线性方程组为矩阵，的行向量组线性无关，则（A）的列向量组线性无关.（B）的行向量组线性无关.（C）的列向量组线性无关.（D）中的任意个列向量线性无关.［　　］[解]选(B)先考虑：行对行、列对列即可

4、知（12）阶实对称阵为正定矩阵的充要条件是（A）.（B）的所有特征值非负.（C）为正定阵.（D）秩.　　　　　　　［　　］[解]选(C)（13）设和是独立且均在上服从均匀分布的随机变量，则（A）.（B）.（C）.（D）.　　　　　［　　］[解]由题设的联合分布密度dxdy12/12选(C)（14）设总体服从，已知，未知，为来自容量为的样本，则检验假设已知）的拒绝域为（A）.（B）.（C）.（D）.［　　］[解]∵已知，拒绝域只能是(A),(B)，又∵是单侧检验，∴选(B)三、解答题（本题共9小题

5、，满分94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(15)(本题满分12分)求.[解]12/12(16)(本题满分11分)设为定义在上且满足的连续函数，试求在上的平均值.[解]等式两边从到积分又∵在上的平均值.(17)(本题满分12分)设一旋转抛物面内盛有高为的液体，把另一同轴旋转抛物面浸没在它里面达，问液面上升多少？[解]设两旋转抛物面由平面上两抛物线，绕y轴旋转而成，设为被第二个抛物面所排开液体体积，则.设被挤上升的液体体积为，则12/12由,得∵.∴故液面上升高度（18）（本题满分11

6、分）已知是的一个原函数，而是微分方程满足初始条件的解.①将展成的幂级数；②求的和.[解](1)由题设又12/12(2)即令得（19）（本题满分12分）设具有二阶导数，为平面上任一条分段光滑的曲线，积分与路径无关。①当时，求；②设是从到的分段光滑曲线，计算.[解](1)令①代入②③③代入①得:特征方程故令,得12/12令故(2)（20）（本题满分9分）设有线性方程组①证明：若两两不相等，则此线性方程组无解；②设且已知为该方程组的两个解，写出该方程组的通解.[解]①==12/12由于两两不相等,从而

7、,于是而故方程组无解.②当时,方程组为，即导出组的基础解系所含向量个数,--------为导出组的基础解系,故原方程组的通解+,(k为任意常数)（21）（本题满分9分）设维非零列向量满足条件，其中是阶正定矩阵，证明向量组线性无关.[解]为正定矩阵,∴对任意的维非零列向量,有>0,设个常数使两边左乘以,得两边左乘以，由题设由于,则12/12故线性无关。（22）（本题满分9分）掷两枚骰子，和分别表示掷出的最小点与最大点。求：①的联合分布律；②和的边缘分布律；③.（22）解：(1)的联合分布律为[解]

8、123456100000200003000400506(2)与的边缘分布律为x123456y123456(3)12/12同理可得：（23）（本题满分9分）二维连续型随机变量服从上的均匀分布，令，求期望，方差.[解]由题设s可知区域D的面积S=2，于是（x,y）的联合分布密度为=12/12