各种梁的弯矩计算

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1、弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。梁Beam——以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。弯曲bending平面弯曲planebending7.1.2梁的计算简图载荷：（1）集中力concentratedloads（2）集中力偶force-couple（3）分布载荷distributedloads7.1.3梁的类型(1)简支梁simplesupportedbeam上图(2)外伸梁overhangingbeam(3)悬臂梁cantileverbeam7.2梁弯曲时的内力7.2.1梁弯曲时横截面上的内力——剪力shearingforce和弯矩bendin

2、gmoment问题：任截面处有何内力？该内力正负如何规定？例7－1图示的悬臂梁AB，长为l，受均布载荷q的作用，求梁各横截面上的内力。求内力的方法——截面法截面法的核心——截开、代替、平衡内力与外力平衡解：为了显示任一横截面上的内力，假想在距梁的左端为x处沿m-m截面将梁切开。梁发生弯曲变形时，横截面上同时存在着两种内力。剪力——作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内。弯矩——位于纵向对称面内。剪切弯曲——横截面上既有剪力又有弯矩的弯曲。纯弯曲——梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。工程上一般梁（跨度L与横截面高度h之比L/h＞5），其剪力对强度和刚度的影响很小，可忽略不计，故只需考

3、虑弯矩的影响而近似地作为纯弯曲处理。规定：使梁弯曲成上凹下凸的形状时，则弯矩为正；反之使梁弯曲成下凹上凸形状时，弯矩为负。7.2.2弯矩图bendingmomentdiagrams弯矩图：以与梁轴线平行的坐标x表示横截面位置，纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小。例7－2试作出例7－1中悬臂梁的弯矩图。解（1）建立弯矩方程由例7－1知弯矩方程为（2）画弯矩图弯矩方程为一元二次方程，其图象为抛物线。求出其极值点相连便可近似作出其弯矩图。例7－3图示的简支梁AB，在C点处受到集中力F作用，尺寸a、b和l均为已知，试作出梁的弯矩图。解（1）求约束反力（2）建立弯矩方程上例中梁受连续均

4、布载荷作用，各横截面上的弯矩为x的一个连续函数，故弯矩可用一个方程来表达，而本例在梁的C点处有集中力F作用，所以梁应分成AC和BC两段分别建立弯矩方程。例7－4图示的简支梁AB，在C点处受到集中力偶M0作用，尺寸a、b和l均为已知，试作出梁的弯矩图。解（1）求约束反力（2）建立弯矩方程由于梁在C点处有集中力偶M作用，所以梁应分AC和BC两段分别建立弯矩方程。（3）画弯矩图两个弯矩方程均为直线方程总结上面例题，可以得到作弯矩图的几点规律：（1）梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小。（2）梁受到均

5、布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。（3）梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。7.3梁纯弯曲时的强度条件7.3.1梁纯弯曲(purebending)的概念Concepts纯弯曲——梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。Q=0，M=常数。7.3.2梁纯弯曲时横截面上的正应力NormalStressesinBeams1．梁纯弯曲时的变形特点GeometryofDeformation:平面假设：1）变形前为平面变形后仍为平面2）始终垂直与轴线中性层NeutralSurface：既不缩短也不伸长（不受压不受拉）

6、。中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。中性轴NeutralAxis：中性层与横截面的交线。变形时横截面是绕中性轴旋转的。2．梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。3．梁纯弯曲时正应力计算公式在弹性范围内，经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为式中，M为作用在该

7、截面上的弯矩（Nmm）；y为计算点到中性轴的距离（mm）；IzMomentofAreaaboutZ-axis为横截面对中性轴z的惯性矩（mm4）。在中性轴上y=0，所以s=0；当y=ymax时，s=smax。最大正应力产生在离中性轴最远的边缘处，Wz横截面对中性轴z的抗弯截面模量(mm3)计算时，M和y均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是压应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。弯曲正应力计