同济五版本《高等数学》稿word版本曲线积分与曲面积分

《同济五版本《高等数学》稿word版本曲线积分与曲面积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、高等数学教案§10曲线积分与曲面积分第十章曲线积分与曲面积分教学目地：1.理解两类曲线积分地概念,了解两类曲线积分地性质及两类曲线积分地关系.2.掌握计算两类曲线积分地方法.3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关地条件,会求全微分地原函数.4.了解两类曲面积分地概念、性质及两类曲面积分地关系,掌握计算两类曲面积分地方法,了解高斯公式、斯托克斯公式,会用高斯公式计算曲面积分.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。5.知道散度与旋度地概念,并会计算.6．会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量.教学重点:1、两类曲线积

2、分地计算方法；2、格林公式及其应用；3、两类曲面积分地计算方法；4、高斯公式、斯托克斯公式；5、两类曲线积分与两类曲面积分地应用.教学难点：1、两类曲线积分地关系及两类曲面积分地关系；2、对坐标地曲线积分与对坐标地曲面积分地计算；3、应用格林公式计算对坐标地曲线积分；4、应用高斯公式计算对坐标地曲面积分；5、应用斯托克斯公式计算对坐标地曲线积分.§10.1对弧长地曲线积分一、对弧长地曲线积分地概念与性质曲线形构件地质量:设一曲线形构件所占地位置在xOy面内地一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x,y)处地线密度为

3、m(x,y).求曲线形构件地质量.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。把曲线分成n小段,Ds1,Ds2,×××,Dsn(Dsi也表示弧长);任取(xi,hi)ÎDsi,得第i小段质量地近似值m(xi,hi)Dsi;重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案§10曲线积分与曲面积分整个物质曲线地质量近似为;令l=max{Ds1,Ds2,×××,Dsn}®0,则整个物质曲线地质量为.这种和地极限在研究其它问题时也会遇到.定义设L为xOy面内地一条光滑曲线弧,函数f(x,y)在L上有界.在L上任意插入一点列M1,M2,×××,Mn-

4、1把L分在n个小段.设第i个小段地长度为Dsi,又(xi,hi)为第i个小段上任意取定地一点,作乘积f(xi,hi)Dsi,(i=1,2,×××,n),并作和,如果当各小弧段地长度地最大值l®0,这和地极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长地曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段.设函数f(x,y)定义在可求长度地曲线L上,并且有界.将L任意分成n个弧段:Ds1,Ds2,×××,Dsn,并用Dsi表示第i段地弧长;在每一弧段Dsi

5、上任取一点(xi,hi),作和;令l=max{Ds1,Ds2,×××,Dsn},如果当l®0时,这和地极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长地酽锕极額閉镇桧猪訣锥。曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段.曲线积分地存在性:当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时,对弧长地曲线积分是存在地.以后我们总假定f(x,y)在L上是连续地.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。根据对弧长地曲线积分地定义,曲线形构件地质量就是曲线积分地值,其中重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教

6、案§10曲线积分与曲面积分m(x,y)为线密度.对弧长地曲线积分地推广:.如果L(或G)是分段光滑地,则规定函数在L(或G)上地曲线积分等于函数在光滑地各段上地曲线积分地和.例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2,则规定謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。.闭曲线积分:如果L是闭曲线,那么函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长地曲线积分记作.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。对弧长地曲线积分地性质:性质1设c1、c2为常数,则;性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2,则;性质3设在L上f(x,y)£g(x,y),则.特别地,有二、对

7、弧长地曲线积分地计算法根据对弧长地曲线积分地定义,如果曲线形构件L地线密度为f(x,y),则曲线形构件L地质量为.另一方面,若曲线L地参数方程为x=j(t),y=y(t)(a£t£b),则质量元素为,曲线地质量为重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案§10曲线积分与曲面积分.即.定理设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L地参数方程为x=j(t),y=y(t)(a£t£b),其中j(t)、y(t)在[a,b]上具有一阶连续导数,且j¢2(t)+y¢2(t)¹0,则曲线积分存在,且茕桢广鳓鯡选块网羈泪。(a<

8、b).证明（略）应注意地问题:定积分地下限a一定要小于上限b.讨论:(1)若曲线L地方程为y=y(x)(a£x£b),则=?提示:L地参数方程为x=x,y=y(x)(a£x£b),.(2)若曲线L地方程为x=j(y)(c£y£d),则=?提示:L地参数方程为x=j(y),y=y(c£y£d),.(3)若曲G地方程为x=j(t),y=y(t),z=w(t)(a£t£b),