优秀教（学）案33-直线和圆的方程的应用

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1、4.2.3直线与圆的方程的应用教材分析本节内容是必修2第四章第2节的第3课时，主要是运用本章前面所学过的知识和理论原理来研究和解决直线与圆的方程的实际应用问题以及利用坐标法解决平面几何的证明问题．因此本节课在教材中的地位很重要，是整章知识的整合，不可或缺．此外本节课在教材中还起着深化知识，提升知识的作用，使学生的基本技能上升到一个新的台阶，同时为以后解析几何的深化学习奠定了良好的基础．课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解了两道例题，分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用，以及用坐标法研究几何问题的基本思路及其解题过程．教学目标重点：直线和圆的应用性问题以及用坐标法

2、证明平面几何问题．难点：如何用坐标法解决实际问题．知识点：用坐标法解决简单的实际应用问题和平面几何问题．能力点：在探究直线与圆的方程应用的活动中，培养学生运用数形结合与方程的思想解决问题的意识，提升学生分析、解决问题的能力和反思、归纳的能力．教育点：通过引入实际应用问题，使学生感受数学就在我们身边，激发学生的学习兴趣自主探究点：通过交流、探讨，自主归纳出用坐标法解题的一般步骤．考试点：与直线、圆有关的实际应用及其利用坐标法处理平面几何问题．易错易混点：利用坐标法解题时，相关点直线圆的代数表示．拓展点：如何建立“适当”的平面直角坐标系?教具准备多媒体课件、圆规、直尺课堂模式学

3、案导学一、复习引入(1)知识回顾：1.直线与圆的位置关系：相离、相切、相交2.圆与圆的位置关系：相离、外切、相交、内切、内含3.解决直线与圆以及圆与圆的位置关系的方法①直线与圆的位置关系的判断，通常有两种方法：方法1：从几何的角度来说明，依据圆心到直线的距离与半径长的关系，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．方法2：通过直线与圆的方程组成的方程组有无实数解来判断．如果有解，直线与圆有公共点．有两组实数解时，直线与圆相交；有一组实数解时，直线与圆相切；无实数解时，直线与圆相离．②和判断直线与圆的位置关系一样，判断圆与圆的位置关系也有两种方法：一种是利用

4、两圆圆心连心线长与和的大小关系判断，另一种是根据两个圆的方程组成方程组的实数解的个数判断．【设计意图】复习巩固前面所学知识，为这节内容的学习作好充分准备．(2)新课引入：引导学生阅读课本P124“坐标法与机器证明”体会法国数学家笛卡儿与中国数学家吴文俊在几何代数化以及几何定理机器证明方面的贡献．【设计意图】引出本节课要探究学习的主题——坐标法的应用．图4.2-5二、探究新知探究一：直线与圆的方程在实际生活中的应用例4．图4.2-5是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，求支柱的高度(精确到)．图4.2-6思考1：如图4.2-6所

5、示建立直角坐标系，那么求支柱的高度，化归为什么问题？学生：支柱的高度即为点的纵坐标．思考2：取为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？学生：由圆心在轴上，可设圆的方程为，然后根据点，在圆上，构造方程组即可求解，，得到圆的方程．思考3：利用这个圆的方程如何求点的纵坐标？学生：将点的横坐标代入圆的方程可得结果．最后教师归纳概括，给出规范的解题过程如下：解：取为长度单位，建立图4．2-6所示的直角坐标系，使圆心在在轴上，设圆心坐标是，圆的半径是，那么圆的方程是，因为都在圆上，所以它们的坐标，都满足方程．于是，得到方程组解得，．所以，圆的方程是．将点的横坐标代入圆的方程，得，解得(的纵

6、坐标)．答：支柱的高度约为．图4.2-7思考4：如果不建立坐标系，你能用几何法解决这个问题吗？教师：如图4.2-7，过作，由已知，．在中，有．设圆拱所在圆的半径长是，则有，解得．在中，有，因为，于是有，又，于是有，所以支柱的高度约为．【设计意图】这是一个我们学生身边的例子，通过这个例子体会我们的生活中无处不在“用”数学．通过这一问题的解决，进一步巩固用坐标法解决实际问题的步骤，了解建立适当的坐标系的必要性．同时，通过思考4进一步体会坐标法在解决一些问题上的优越性．探究二：坐标法在研究几何问题中的应用例5．已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所

7、对边长的一半．图4.2-8思考1：许多平面几何问题常利用“坐标法”来解决，首先要做的工作是建立适当的直角坐标系，在本题中应如何选取坐标系？教师指出在建立直角坐标系时应该注意选择图形中互相垂直的两条直线作为轴与轴，并尽可能使得所涉及的点位于坐标轴上，因为这样可以使得它们的坐标比较简单（有一个是0）．学生：以四边形中互相垂直的两条对角线所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系．思考2：如图4.2-8所示建立直角坐标系，设四边形的四个顶点分别为点，，，，那么边的长为多少？图4.2-9学生：根据两点间距离公式可得，．思考3