全国高考数学热点问题研究——导数及其综合应用

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1、2011年高考数学热点问题研究——导数及其综合应用　　【考题回放】 　　1．（江西卷）对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f?(x)?0，则必有（C ）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 　　A．    f(0)＋f(2)<2f(1)            B.f(0)＋f(2)?2f(1)聞創沟燴鐺險爱氇谴净。     　　C. f(0)＋f(2)?2f(1)             D.f(0)＋f(2)>2f(1)残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。 　　　解：依题意，当x?1时，f?(x)?0，函数f(x)在（1，＋?）上是增函数；当x<1时，f?(x)?0，f(x)在（－?，1）上是减函数，故f(

2、x)当x＝1时取得最小值，即有f(0)?f(1)，f(2)?f(1)，故选C酽锕极額閉镇桧猪訣锥。 　　2．（全国II）过点（－1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为  　　　（A）2x+y+2=0  （B）3x-y+3=0 （C）x+y+1=0  （D）x-y+1=0 　　　解：y?=2x+1，设切点坐标为(x0,y0)，则切线的斜率为2x0+1，且y0=x02+x0+1于是切线方程为y-(x02+x0+1)=(2x0+1)(x-x0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得x0＝0或－4，代入可验正D正确。选D彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。 　　3.（四川卷）曲线y=4x-x3在点(

3、-1,-3)处的切线方程是 　　（A）y=7x+4  （B）y=7x+2   （C）y=x-4    （D）y=x-2 　　　解：曲线y=4x-x3，导数y?=4-3x2，在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1，所以切线方程是y=x-2，选D.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。 　　4.（天津卷）函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（　  ）厦礴恳蹒骈時盡继價骚。 　　A．1个           B．2个C．3个           D．4个   　　　解析：函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?

4、(x)在(a,b)内的图象如图所示，函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。 　　5.（浙江卷）f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是 　　(A)-2               (B)0                (C)2               (D)4鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。 　　　解：f?(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f?(x)=0可得x＝0或2（2舍去），当－1?x<0时，f?(x)>0，当0

5、2。选C籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。 　　6.（湖南卷）曲线和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是        . 　　　解析：曲线和y=x2在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与x轴所围成的三角形的面积是.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。 　　7.（安徽卷）设函数f(x)=x3+bx2+cx(x?R)，已知g(x)=f(x)-f?(x)是奇函数。渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。 　　（Ⅰ）求b、c的值。 　　（Ⅱ）求g(x)的单调区间与极值。 　　【解答】：（Ⅰ）∵f(x)=x3+bx2+cx，∴f?(x)=3x2+2bx+c.从而g(x)=f(x)-

6、f?(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)＝x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c是一个奇函数，所以g(0)=0得c=0，由奇函数定义得b=3；铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。 　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知g(x)=x3-6x，从而g?(x)=3x2-6，由此可知， 和是函数g(x)是单调递增区间；是函数g(x)是单调递减区间； 　　　g(x)在时，取得极大值，极大值为，g(x)在时，取得极小值，极小值为。【考点透视】 从近几年的高考命题分析，高考对到导数的考查可分为三个层次： 第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。 第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单

7、调区间，证明函数的增减性等； 第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。 【热点透析】 导数综合试题,主要有以下几方面的内容: 1.函数，导数，不等式综合在一起,解决单调性，参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解;贓熱俣