全国高中立体几何证明方法及例题

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1、（一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。1.线线、线面、面面平行关系的转化：2.线线、线面、面面垂直关系的转化：3.平行与垂直关系的转化：4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”5.唯一性结论： 1.三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°2.三类角的求法：转化为平面角“一找、

2、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。【典型例题】（一）与角有关的问题例1.（1）如图，E、F分别为三棱锥P—ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为（）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。A.60°B.45°C.30°D.120°解：取AC中点G，连结EG、FG，则∴∠EGF为AB与PC所成的角在△EGF中，由余弦定理，∴AB与PC所成的角为180°－120°＝60°∴选A （2）已知正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的

3、全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（）聞創沟燴鐺險爱氇谴净。解：∴选A ①点P到平面QEF的距离为定值；②直线PQ与平面PEF所成的角为定值；③二面角P—EF—Q的大小为定值；④三棱锥P—QEF的体积为定值其中正确命题的序号是___________。解：∴①对，②错值，∴③对综上，①③④正确。 例2.图①是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。（1）求MN和PQ所成角的大小；（2）求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比；（

4、3）求二面角M—NQ—P的大小。解：（1）如图②，作出MN、PQ∵PQ∥NC，又△MNC为正三角形∴∠MNC＝60°∴PQ与MN成角为60°即四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比为1：6（3）连结MA交PQ于O点，则MO⊥PQ又NP⊥面PAQM，∴NP⊥MO，则MO⊥面PNQ过O作OE⊥NQ，连结ME，则ME⊥NQ∴∠MEO为二面角M—NQ—P的平面角在Rt△NMQ中，ME·NQ＝MN·MQ设正方体的棱长为a∴∠MEO＝60°即二面角M—NQ—P的大小为60°。 例3.如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形

5、，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。解：（1）作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE∵AD⊥PB，∴AD⊥OB（根据___________）∵PA＝PD，∴OA＝OD于是OB平分AD，点E为AD中点∴PE⊥AD∴∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角∴∠PEB＝120°，∠PEO＝60°即为P点到面ABCD的距离。（2）由已知ABCD为菱形，及△PAD为边长为2

6、的正三角形∴PA＝AB＝2，又易证PB⊥BC故取PB中点G，PC中点F则AG⊥PB，GF∥BC又BC⊥PB，∴GF⊥PB∴∠AGF为面APB与面CPB所成的平面角∵GF∥BC∥AD，∴∠AGF＝π－∠GAE连结GE，易证AE⊥平面POB（2）解法2：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA （二）与距离有关的问题例4.（1）已知在△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离都是14，那么点P到平面ABC的距离是（）彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。A.13B.11C.9D.7解：设点P在△ABC

7、所在平面上的射影为O∵PA＝PB＝PC，∴O为△ABC的外心△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120° 长度为___________。解：（采用展开图的方法）点评：此类试题，求沿表面运动最短路径，应展开表面为同一平面内，则线段最短。但必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。 （3）在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经140°与西经130°，设地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离是（）厦礴恳蹒骈時盡继價骚。解：（O1为小圆圆心）∴△AOB为正三角形（O为球心）∴选D 例5.

8、如图，四棱锥P—ABCD，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD中点。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。（1）求证：AF∥平