高中立体几何证明方法及例题

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1、1.空间角与空间距离在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。2.立体几体的探索性问题立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给

2、出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。 （一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。1.线线、线面、面面平行关系的转化：2.线线、线面、面面垂直关系的转化：3.平行与垂直关系的转化：4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想

3、判定，由已知想性质。”5.唯一性结论： 1.三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。 （三）空间距离：求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关三角形中求解。求点到面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为点到面的距离

4、。 【典型例题】（一）与角有关的问题例1.（1）如图，E、F分别为三棱锥P—ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为（）A.60°B.45°C.30°D.120°解：取AC中点G，连结EG、FG，则∴∠EGF为AB与PC所成的角在△EGF中，由余弦定理，∴AB与PC所成的角为180°－120°＝60°∴选A （2）已知正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（）解：∴选A ①点P到平面QEF的距离为定值；②直线PQ与平面PEF所成的角为定值；③二面角P—EF—Q的大小为

5、定值；④三棱锥P—QEF的体积为定值其中正确命题的序号是___________。解：∴①对，②错值，∴③对综上，①③④正确。 例2.图①是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：（1）求MN和PQ所成角的大小；（2）求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比；（3）求二面角M—NQ—P的大小。解：（1）如图②，作出MN、PQ∵PQ∥NC，又△MNC为正三角形∴∠MNC＝60°∴PQ与MN成角为60°即四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比为1：6（3）连结MA交PQ于O点，则MO⊥PQ又NP⊥面PAQM，∴NP

6、⊥MO，则MO⊥面PNQ过O作OE⊥NQ，连结ME，则ME⊥NQ∴∠MEO为二面角M—NQ—P的平面角在Rt△NMQ中，ME·NQ＝MN·MQ设正方体的棱长为a∴∠MEO＝60°即二面角M—NQ—P的大小为60°。 例3.如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。解：（1）作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE∵AD⊥PB，∴AD⊥OB（根据___________）∵PA

7、＝PD，∴OA＝OD于是OB平分AD，点E为AD中点∴PE⊥AD∴∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角∴∠PEB＝120°，∠PEO＝60°即为P点到面ABCD的距离。（2）由已知ABCD为菱形，及△PAD为边长为2的正三角形∴PA＝AB＝2，又易证PB⊥BC故取PB中点G，PC中点F则AG⊥PB，GF∥BC又BC⊥PB，∴GF⊥PB∴∠AGF为面APB与面CPB所成的平面角∵GF∥BC∥AD，∴