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1、“文档中国”搜集整理[www.WenDang.com]2004年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷答案和评分参考一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填写在题中横线上.）（1）曲线上与直线垂直的切线方程为y=x―1.（2）已知，且，则.（3）设为正向圆周在第一象限的部分，则曲线积分的值为.（4）欧拉方程的通解为.（5）设矩阵，矩阵满足，其中为的伴随矩阵，是单位矩阵，则.（6）设随机变量服从参数为的指数分布，则.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符
2、合题目要求的，把所选项前的字母填在题后面的括号内.）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。（7）把的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A）.（B）.（C）.（D）.【B】（8）设函数连续，且，则存在，使得（A）在内单调增加.（B）在内单调减小.（C）对任意的有.（D）对任意的有.【C】“文档中国”搜集整理[www.WenDang.com]（9）设为正项级数,下列结论中正确的是（A）若,则级数收敛.（B）若存在非零常数,使得,则级数发散.（C）若级数收敛,则.（D）若级数发散,则存在非零常数,使得.【
3、B】（10）设为连续函数,,则等于（A）.（B）.（C）.（D）.【B】（11）设是阶方阵,将的第列与第列交换得,再把的第列加到第列得,则满足的可逆矩阵为（A）.（B）.（C）.（D）.【D】（12）设为满足的任意两个非零矩阵,则必有（A）的列向量组线性相关,的行向量线性相关.（B）的列向量组线性相关,的列向量线性相关.（C）的行向量组线性相关,的行向量线性相关.（D）的行向量组线性相关,的列向量线性相关.【A】（13）设随机变量服从正态分布,对给定的,数满足.若,则等于（A）.（B）.（C）.（D）.【C】（14）设随
4、机变量独立分布,且其方差为.令,则（A）.（B）.“文档中国”搜集整理[www.WenDang.com]（C）.（D）.【A】三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(15)(本题满分12分)聞創沟燴鐺險爱氇谴净。设,证明.证法1设，则，，……5分所以当时，，故单调减少，从而当时，，……9分即当时，单调增加.因此当时，.即，故.……12分残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。证法2对函数在上应用拉格朗日中值定理，得……3分设，则,当时，，所以单调减少.……9分从而，即，故.……12分“文档中国”
5、搜集整理[www.WenDang.com]酽锕极額閉镇桧猪訣锥。(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为）.问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。注：kg表示千克，km/h表示千米/小时.解由题设，飞机的质量kg，着陆时的水平速度=700km/h.从
6、飞机接触跑道开始计时，设时刻飞机的滑行距离为，速度为.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。法1根据牛顿第二定律，得.……4分茕桢广鳓鯡选块网羈泪。又，由以上二式得，……7分积分得.由于，，故得，从而.当时，（km）……11分所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.法2根据牛顿第二定律，得……4分所以.两端积分得通解，代入初始条件解得，故.……7分飞机滑行的最长距离为（km）.……11分法3根据牛顿第二定律，得“文档中国”搜集整理[www.WenDang.com]，……4分其特征方程为，解之得故.……7分鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。由，，得于
7、是.当时，（km）.……11分所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.（17）（本题满分12分）计算曲面积分，其中是曲面的上侧.解取为平面上被圆所围部分的下侧，记为由与围成的空间闭区域，则.……3分由高斯公式知……6分……9分“文档中国”搜集整理[www.WenDang.com]而，因此.……12分籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。（18）（本题满分11分）设有方程，其中为正整数.证明此方程存在唯一正实根，并证明当时，级数收敛.证记.当时，,故在,上单调增加.……3分預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。而，由连续函数的介值定理知存在惟一正实根.…
8、…6分渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。由与知……9分故当时，而正项级数收敛，所以当时，级数收敛.……11分铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。（19）（本题满分12分）设，是由确定的函数，求“文档中国”搜集整理[www.WenDang.com]的极值点和极点.解因为，所以,……2分令得将上式代入，可得或……5分由于，，……8分所以，故，又，
