参数曲线奇拐点分析与控制

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1、学校代码：10406分类号：TP391.4学号：090070102004南昌航空大学硕士学位论文（学位研究生）参数曲线奇拐点的分析与控制硕士研究生：刘朝霞导师：喻德生教授申请学位级别：硕士学科、专业：计算数学所在单位：数学与信息科学学院答辩日期：2012年6月授予学位单位：南昌航空大学IAnalysisandManipulationofSingularityandInflectionPointsonParametricCurvesADissertationSubmittedfortheDegreeof

2、MasterOncomputationalmathematicsByLIUZhaoxiaUndertheSupervisionofProf.YUDesheng(CollegeofMathematicsandInformationSciences)NanchangHangkongUniversity,Nanchang,ChinaJune,2012II摘要几何特征是计算机辅助几何设计研究的重要课题之一，曲线的奇拐点是反映曲线几何特征的重要信息，其存在性和存在条件的研究有着十分重要的理论意义和实用价值。传统

3、的曲线几何特征的研究方法主要有代数方法和几何方法，虽然它们有许多优点，但是依然存在不足，例如，如何根据控制多边形的形状直接判断曲线的形状，如何控制参数曲线的奇拐点等。为此，本文对囿于一类控制多边形下的二次、三次三角样条曲线与类四次三角样条曲线的奇拐点进行了分析，得到了这三种曲线生成奇拐点的充要条件；对一类参数曲线奇拐点的控制进行了研究，得到了该类曲线奇拐点控制的几个定理及有关结论，给出了该类曲线奇拐点控制的算法，并探讨了该类曲线奇拐点控制的应用。主要内容如下：第一章阐述了参数曲线奇拐点研究的重要意义及

4、发展历程，总结了参数曲线奇拐点研究的方法，分析了这些方法的优势及不足，从而提出了本文研究的问题，并概括了本文研究的内容。第二章介绍了Bézier曲线、C-Bézier曲线、二次和三次三角样条曲线以及类四次三角样条曲线的定义与性质；构造了一种带两个参数的类四次三角样条曲线，分析了其主要性质，从而为后续章节内容奠定基础。第三、四章分析了二次、三次三角样条曲线与类四次三角样条曲线的奇拐点。通过研究一类控制多边形与其二次、三次三角样条曲线与类四次三角样条曲线生成奇拐点之间的关系，分别得到了这三种三角样条曲线生

5、成奇拐点的充要条件，并讨论了参数对奇拐点的影响，给出了奇拐点分析的算法及具体算例。第五章研究了一类参数曲线奇拐点的控制。通过固定这类曲线的nn(2)个控制顶点，以剩下的一个控制顶点为自由顶点来生成和控制其奇拐点，得到了奇拐点属于任意一条奇拐点曲线且任意两条奇点曲线在奇点处都相切及任意两条拐点曲线在拐点处都相交的结论，进而给出了奇拐点控制的算法，并以Bézier曲线、C-Bézier曲线和带两个参数的类四次三角样条曲线为例来说明该结论及算法的实用性和有效性。第六章总结全文的同时，提出了需要进一步研究的

6、问题。关键词：三角样条曲线，奇点，拐点，奇点曲线，拐点曲线IAbstractGeometriccharacteristicsareoneofimportanttopicsofstudyinthefieldofCAGD.Singularityandinflectionpointsofcurvesareimportantinformationtoreflectgeometriccharacteristicsofcurves;theresearchoftheirexistencehasimportantth

7、eoreticalsignificanceandpracticalvalue.Traditionalresearchmethodsofstudygeometriccharacteristicsmainlyhavealgebraicandgeometricalmeans.Althoughtheyhavemanyadvantages,therestillexistsinsufficient,suchashowtojudgetheshapeofcurvesbythecontrolpolygonsandman

8、ipulatesingularityandinflectionpointsofcurves,etc.Inordertoovercometheseshortcomings,thispaperanalysesandmanipulatesthesingularityandinflectionpointsonsomekindsofcurves.Ontheonehand,thesingularityandinflectionpointsonquadraticand