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1、二轮函数与方程思想【知识要点】1.应用函数与方程思想解决数列,不等式,圆锥曲线等方面的问题.2.应用函数与方程思想解决有关的实际问题.【典型例题精析】例1.已知集合,.如果,求实数的取值范围.解：由,得①∵,∴方程①在区间上至少有一个实根.由,得.当时,由及知,方程①只有负根,不符合要求.当时,由及知,方程①只有正根,且必有一根在区间内,从而方程①至少有一个实根在区间内.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。综上所述,的取值范围是.例2.设等差数列的前项的和为,已知,.(1)求公差的取值范围；(2)指出中哪一个值最大,并说明理由.【分析】第(1)问利用
2、公式与建立不等式,容易求解d的范围；第(2)问利用是的二次函数,将中哪一个值最大,变成求二次函数中为何值时取最大值的函数最值问题.解：(1)由,得到,所以,,解得:.11/11(2),因为,故最小时,最大.由得6<,故正整数时最小,所以最大.【点评】数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数,因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题.也可以利用方程的思想,设出未知的量,建立等式关系即方程,将问题进行算式化,从而简洁明快.由次可见,利用函数与方程的思想来解决问题,要求灵活地运用、巧妙的结合,发展了学生思维品质的深
3、刻性、独创性.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。例3.设,如果当时有意义,求实数的取值范围.【分析】当时,有意义的函数问题,转化为在上恒成立的不等式问题.解:由题设可知,不等式在上恒成立,即：在上恒成立.设,则,又设,其对称轴为,∴在上无实根,即,得.所以的取值范围是.【点评】对于不等式恒成立问题,引入新的参数化简了不等式后,构造二次函数利用函数的图像和单调性解决问题,其中也联系到了方程无解,体现了方程思想和函数思想.一般地,我们在解题中要抓住二次函数及其图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系,将问题进行相互转化.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。例4.
4、求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线方程.解：当直线斜率不存在时,直线方程为,直线与抛物线相切,符合条件.当直线斜率存在时,设直线方程为,由方程组消去得①11/11∵直线与抛物线只有一个公共点,∴方程①只有一个实根.若,则方程①为,解得,∴,此时直线方程为,直线与抛物线只有一个公共点,符合条件.若,由直线与抛物线只有一个公共点,得,∴,所求直线方程为.综上所述,所求直线方程为或或.例5.如图,是圆的直径,垂直于圆所在平面,是圆周上任一点,设∠,,求异面直线和的距离.【分析】异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离
5、的最小值,从而设定变量,建立目标函数而求函数最小值.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。PMAHBDC解：在上任取一点,作⊥于D,⊥于,设,则⊥平面,⊥.∴即当时,取最小值为两异面直线的距离.【点评】本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”,并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”.一般地,对于求最大值、最小值的实际问题,先将文字说明转化成数学语言后,再建立数学模型和函数关系式,然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答.比如再现性题组第8题就是典型的例子.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。例6.设计一幅宣传画,要
6、求画面积为,画面的宽与高的比为,画面的上,下各留空白,左,右各留空白,怎样确定画面的高与宽的尺寸,使宣传画所用纸张面积最小？謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。解:设画面的高为,则画面的宽为,所用纸张的面积为,由题设,得,,∴当且仅当,即时取等号,此时.∴当画面高为,宽为时,所用纸张面积最小.11/11【当堂反馈】1.已知函数有反函数,则方程（B）A.有且仅有一个实根B.至多有一个实根C.至少有一个实根D.没有实根2.方程至少有一个负根的充要条件是（C）A.B.C.D.3.对于满足的一切实数,不等式恒成立,则的取值范（B）.A.B.C.D.4.已知是
7、方程的根,是方程的根,那么所在的区间为（C）A.B.C.D.5.设,若对应于的曲线段位于轴的上方,则满足（D）A.B.C.D.6.若直线与曲线有两个不同的交点,则实数的取值范围是（C）A.B.C.D.7.已知,且满足,则的值为（C）A.B.C.D.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。8.如果函数对于任意实数,都有,那么(A)A.B.C.D.9.已知函数,当时,函数的最小值是________.10.若正数满足,则的取值范围是________.11/1111.设函数,给出下列命题：①时,只一个实根；②时,是奇函数；③的图象关于点对称；④方程至多有2个实根
8、.上述命题中的所有正确命题的序号是________.①②茕桢广鳓鯡选块网羈泪。12.将长度为1的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形,要使正方形和圆形的面积之和最小,正方形的周长应为________.
