电动力学课件6c

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1、二二、二二二、二、、洛伦兹变换的四维形式、、、洛伦兹变换的四维形式、洛伦兹变换的四维形式洛伦兹变换的四维形式111111、、四维空间的转动变换、、、四维空间的转动变换、四维空间的转动变换四维空间的转动变换（（三维情况的推广（（（三维情况的推广（三维情况的推广三维情况的推广））转动中的不变量：xx¢¢=xxvv(,mv=--14)mm4422222222x1¢+x2¢+x3¢+x4¢=x1+x2+x3+x4Û∑xxmm¢¢=∑xxvvm=1v=1变换表示式：x¢=axmmnn正交条件为：aa=dÛaaɶ

2、=aaɶ=Imsmlsl222222、、洛伦兹变换为复四维空间的转动变换、、、洛伦兹变换为复四维空间的转动变换、洛伦兹变换为复四维空间的转动变换洛伦兹变换为复四维空间的转动变换与转动变换不变洛伦兹变换下间隔为不变量，，即，即即：即：量表示形式不同2222222222x¢+x¢+x¢-ct¢=x+x+x-ct123123定义：x=ict,x¢=ict¢4422222222x¢+x¢+x¢+x¢=x+x+x+xÛxx¢¢=xx12341234mmnn因此它为复四维空间(x1,x2,x3,x4=ict)的“

3、转动”变换该空间又称为闵可夫斯基空间（1907年年）。年）。nictx1¢=g(x1-nt)=gx1-g=gx1+ibgx4x2¢=x2,x3¢=x3cinx¢=ict¢=ictg(-x)=gx-ibgx=-ibgx+gx4214114cb=vc/x¢=g(x+ibx)1114g=x¢=x221-v/c22x¢=x33x¢=axx(ixx)mmnn4¢=g-b1+4x=ax¢=axɶ¢lmnmmnmx¢g00ibgx矩11(x¢=ax)阵x2¢=0100x2形x3

4、¢0010x3(x=a~x¢)式x¢-ibg00gx44三三、三三三、三、、四维协变量、、、四维协变量、四维协变量四维协变量协变性：：在某种变换下数学方程形式保持不变的性质：在某种变换下数学方程形式保持不变的性质。洛伦兹协变性：：在洛伦兹变换下物理规律的数学方程保持不变：在洛伦兹变换下物理规律的数学方程保持不变的性质。111111、、四维协变量、、、四维协变量、四维协变量四维协变量在洛伦兹变换下具有确定变换性质的物理量。。即在变换下方。即在变换下方程不变，

5、，方程中同一类物理量按相同形式变换，方程中同一类物理量按相同形式变换，，这样的物理量，这样的物理量统称为四维协变量。⑴⑴洛伦兹标量⑴洛伦兹标量：：洛伦兹变换下保持不变的物理量：洛伦兹变换下保持不变的物理量例如：：电荷：电荷QQQ，，时空间隔，时空间隔，，固有长度，固有长度，，固有时间隔，固有时间隔，，静止质，静止质量mmm，，四维空间的体积元等，四维空间的体积元等000固有时间隔dddτdτ为不变量的说明：dsds2cdt22dr2dt==-∵dr=0c时间间隔dtdtdt在洛仑兹变换下是一个可变量d

6、t¢¹dt.⑵⑵四维矢量⑵四维矢量V具有四个分量，，在洛伦兹变，在洛伦兹变m，V¢=aV换下与坐标变换形式相同。mmnn•四维空间位移：dxmx¢=ax¢dx¢=adx(dx=icdt)mmnnmmnn4dx•四维速度U=m用固有时度量四维空间mdt的位移可得四维速度变换关系dxm¢=adxmnn,dt¢=dtUm¢=aUmnn四维速度与三维速度间的关系dx三维速度u=i用dt度量三维空间的位移idxidt它不满足洛仑兹变换，，也不是四维速度的前三个分量，也不是四维速度的前三个分量。S令某物体沿∑∑

7、系正方向运动∑系正方向运动，，它，它u的三维速度大小为uuu，u，，固有时为，固有时为dddτdτ，，∑，∑∑系上度量时间为∑系上度量时间为dtdtdt，xO1令gu=221-u/cU=guiuidtdxidtdt==gdtU==ic=icgu4u1-u2/c2dtdtu=dxi=1-uc2/2dxiUm=gu(,)uicidtdt•四维波矢量平面电磁波波矢量kk(=w)cifikr(×-wt)圆频率w在洛伦兹变换下是可变量。。相位。相位[e=e]wf=kr×-wt=kx+kx+kx+ii

8、ct112233cww引入k4=i(x4=ict),km=(,ki)称为四维波矢量ccf=kx=kx¢¢=f¢不不变量不变量mmmmx'=axkm¢=bmnnkmmnnba'=d'kx¢¢=bkax=kxmnmnnnmmmn'n'mnnnnb=ak¢=akmnmnmmnn¢=wkakk=(,ki)称为四维波矢量mmnnmckx¢kx¢=-ng00ibgkg(kw)xx2k¢kcy0100y¢=⇒k=