数学分析课件07new

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1、数学分析第七章:实数的完备性王何宇(浙江大学数学系科学与工程计算研究所)最后更新2009年11月3日王何宇数学分析区间套的定义和区间套定理定义:设闭区间列f[an;bn]g具有如下性质:1[an;bn][an+1;bn+1],n=1;2;


;2limn!1(bnan)=0;则称f[an;bn]g为闭区间套,或简称区间套.显然,各区间端点满足如下不等式a1a2


an


bn


b2b1:定理:若f[an;bn]g是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点,使得2[an;bn],n=1;2;


,即anbn;n=1;2;

2、

:王何宇数学分析区间套的定义和区间套定理定义:设闭区间列f[an;bn]g具有如下性质:1[an;bn][an+1;bn+1],n=1;2;


;2limn!1(bnan)=0;则称f[an;bn]g为闭区间套,或简称区间套.显然,各区间端点满足如下不等式a1a2


an


bn


b2b1:定理:若f[an;bn]g是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点,使得2[an;bn],n=1;2;


,即anbn;n=1;2;


:王何宇数学分析区间套的定义和区间套定理定义:设闭区间列f[an;bn]g具有如下性质:1

3、[an;bn][an+1;bn+1],n=1;2;


;2limn!1(bnan)=0;则称f[an;bn]g为闭区间套,或简称区间套.显然,各区间端点满足如下不等式a1a2


an


bn


b2b1:定理:若f[an;bn]g是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点,使得2[an;bn],n=1;2;


,即anbn;n=1;2;


:王何宇数学分析区间套定理的证明显然,fang为递增有界数列,依单调有界定理,fang有极限,且有ana;n=1:2;


:同理,单调递减数列bn有极限.且由条件,lim(bn

4、an)=0;n!1知liman=limbn=:n!1n!1唯一性:若有0满足a0b;n=1;2;


:nn则j0jba;n=1;2;


:nn因此j0jlim(ba)=0:nnn!1也即=0.王何宇数学分析区间套定理的证明显然,fang为递增有界数列,依单调有界定理,fang有极限,且有ana;n=1:2;


:同理,单调递减数列bn有极限.且由条件,lim(bnan)=0;n!1知liman=limbn=:n!1n!1唯一性:若有0满足a0b;n=1;2;


:nn则j0jba;n=1;

5、2;


:nn因此j0jlim(ba)=0:nnn!1也即=0.王何宇数学分析区间套定理的证明显然,fang为递增有界数列,依单调有界定理,fang有极限,且有ana;n=1:2;


:同理,单调递减数列bn有极限.且由条件,lim(bnan)=0;n!1知liman=limbn=:n!1n!1唯一性:若有0满足a0b;n=1;2;


:nn则j0jba;n=1;2;


:nn因此j0jlim(ba)=0:nnn!1也即=0.王何宇数学分析区间套定理的注记推论:若是区间套f[an;bn]g所确定

6、的点,则对任给的">0,存在N>0,当n>N时,有[an;bn]U(;):注记:区间套定理中的区间必须是闭区间.反例:开区间列1f(0;)g;n也满足区间套定理的条件,但是找不到任何点属于所有的区间.王何宇数学分析区间套定理的注记推论:若是区间套f[an;bn]g所确定的点,则对任给的">0,存在N>0,当n>N时,有[an;bn]U(;):注记:区间套定理中的区间必须是闭区间.反例:开区间列1f(0;)g;n也满足区间套定理的条件,但是找不到任何点属于所有的区间.王何宇数学分析数列的柯西收敛准则定理:数列fang收敛的充要条件是:对任给">0,

7、存在N>0,当m;n>N时,有janamj<":必要性:设limn!1an=A.由极限定义,对任给">0,存在N>0,当m;n>N时,""janAj<;jamAj<22"")janamjjanAj+jamAj<+=":22王何宇数学分析数列的柯西收敛准则定理:数列fang收敛的充要条件是:对任给">0,存在N>0,当m;n>N时,有janamj<":必要性:设limn!1an=A.由极限定义,对任给">0,存在N>0,当m;n>N时,""janAj<;jamAj<22"")janamjjanAj+jamAj<+=":22王何宇数学分

8、析数列的柯西收敛准则充分性:由条件,对