材料物理-2(0913)p

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1、MSEMSEREVIEWforSept.11霍尔效应(1.2)微观粒子的波粒二象性(1.4)(1.5)波函数2012Fall01z8109-BiMSEMSE建立定态薛定谔方程(续3)一质量为将一维波动电子推广到三维空间，即电子m、并在势能为U(x,y,z)的势场中运动的微观粒子，其运动的稳定状态必然与在三维空间运动时波函数222φ(x,y,z)相联系。2m()0EU(1.17)222xyz方程的每一个解φ(x,y,z)表示粒子运动可能222有的稳定态，与这个解相对应的常数2E，就是采用拉普拉斯（

2、Laplace）算符222xyz粒子在这种稳态下具有的能量。222m22()0EU[]UE2m上式即为定态薛定谔方程的一般表达式。2012Fall01z8109-BiMSEMSE本征值、本征函数1）写出势函数;2）要求φ单值，有限，连续，归一化。所以只有方程中能量E具有某些确定值时才有解，这些持定的解为本征值，相应的波函数叫本征函数。22HEˆ[]UE2mHˆ则是对应本征值E的本征函数。2012Fall01z8109-BiMSEMSE1.2金属的费米--索末菲电子理论电子理论最初来自金

3、属，然后才发展到其它材料。对固体电子能量结构和状态的认识，始于对金属电子状态的认识。金属的电子理论是为了解释金属的良好导电性建立起来的，是液态和固态等凝聚态的理论基础。经典的自由电子学说量子自由电子学说现代能带理论2012Fall01z8109-BiMSEMSE经典的自由电子学说德鲁特首先预言在金属中含有带电粒子气体，其运动使金属具有良好的导电性。洛仑兹证实了这些粒子为电子。内容：金属原子聚集成晶体时，其价电子脱离相应原子的束缚，在金属晶体中自由运动，称为自由电子，并且认为它们的行为如同理想气体一样，服从经典的Maxwell-Bolt

4、zmann统计规律。2012Fall01z8109-BiMSEMSE经典的自由电子学说(续)作用：成功地计算出金属电导率以及电导率和热导率的关系。缺陷：解释不了霍尔系数“反常”现象；实际测量的电子平均自由程比经典理论估计的大许多；金属电子比热测量值只有经典自由电子理论估计值的百分之一；金属导体、绝缘体、半导体导电性的巨大差异。2012Fall01z8109-BiMSEMSE量子自由电子学说量子自由电子学说利用薛定谔方程求解自由电子的运动波函数，计算自由电子的能量，也称为Fermi-Sommerfel电子理论。中心思想：同意经典自由电

5、子学说认为价电子是完全自由的，但认为自由电子的行为不服从M–B定律，而是服从Fermi-Dirac的量子统计规律。2012Fall01z8109-BiMSEMSE1.2.1金属中自由电子的能级一维势阱模型（索末菲假设）假设在长度为L的金属丝中有一个自由电子在运动，且金属晶体内的电子与离子没有相互作用，其势能不是位置的函数，即电子势能在晶体内到处一样，取U(x)＝0；由于电子不能逸出金属丝外，则在边界处UU(0)()L2012Fall01z8109-BiMSEMSE金属中自由电子的能级(续1)iEt电子的波函数可写为(,)xt(

6、)xe(1.12)ipx()xAe其中势阱中电子是稳态运动，对应的定态薛定谔方程2dxm()2E()0x(1.18)22dx22由德布罗意公式Ek2m2d22(1.24)得到()02dx2012Fall01z8109-BiMSEMSE金属中自由电子的能级(续2)22方程(1.24)的一般解AcosxBsinx(1.25)A、B为常数。求解A根据边界条件：x=0时,φ(0)=0，所以A=0，可以得到2Bsinx(1.26)2012Fall01z8109-BiMSEMSE金属中自由电子的能

7、级(续3)求解BL2根据波函数的归一化条件()xdx1(1.27)02L2将式(1.26)代入，得Bxsindx10对上式积分，得BL2/一维势阱中电子的定态薛定谔方程的解22/sinLx2012Fall01z8109-BiMSEMSE金属中自由电子的能级(续4)根据边界条件，且B≠0，可以得到2sinL022LLnnn是正整数，为金属中自由电子能级的量子数。对应的能量2222222222nh222Ekn()()n2222mm2m228LmLmL2012Fall01z81

8、09-BiMSEMSE金属中自由电子的能级(续5)2h2En28mL金属丝中自由电子的能量不是连续，而是量子化的。2012Fall01z8109-BiMSEMSE金属中自由电子